解析高考數列求和

摘 要： 利用遞推關系求數列的通項公式是中學數學的難點，也是高考的考查熱點之一.本文以近幾年的高考題為例，介紹幾種常見的利用遞推關系求數列通項公式的方法.

關鍵詞： 高考題 數列求和 通項公式

高考數列求和主要考查對按照一定規律排列的數進行求和.常見的方法有公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項法、數學歸納法等.數列既是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎，在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位.以下將就數列求和的不同方法進行解析.

一、分組求和法

對于不能直接求和的數列可以分解成若干個可以求和的數列，分別求和，這種方法就是分組求和法.分組求和法在高考數列中應用很廣，是高考數列求和的最基本思想，對于能用分組求和法的通項公式主要可以表示成c=a+b、d=a+b+c等，其中{a}、{b}等為等差或等比數列或可以用公式解出前n項和.

例1. 求數列的前n項和：1+1，+4，+7，…，+3n-2，…

解析：設S=（1+1）+（+4）+（+7）+…+（+3n-2）

將其每一項拆開再重新組合得

S=（1+++…+）+（1+4+7+…+3n-2）（分組）

當a=1時，S=n+=（分組求和）

當a≠1時，S=+=+

二、裂項求和法

把數列的通項拆成兩項之差、正負相消下剩首尾若干項，這種方法就是裂項求和法.裂項求和法在高考數列中出現的概率很大，是高考數列求和的基本技巧之一，對于能用裂項求和法的通項公式主要有以下幾種.

=（-）

=[-]

=（-）

=-

n·n！=（n+1）！-n！

=-

例2.求數列，，…，，…的前n項和.

解析：設a==-

S=++…+

=（-）+（-）+…+（-）

=-1

三、錯位相減法

應用對于通項公式為等比數列與等差數列相乘的形式，形如c=ab，其中a為等差數列，b為等比數列，分別列出S，再把所有式子同時乘以等比數列的公比，即kS；然后錯一位，兩式相減的方法就是錯位相減法.錯位相減法是一種常用的數列求和方法，能運用錯位相減法求和的有：

S=x+3x+5x+…+（2n-1）x（x≠0）

S=2+3×2+5×2+…+（2n-1）2

例3.【2010四川文（20）】已知等差數列{a}的前3項和為6，前8項和為-4.

（1）求數列{a}的通項公式；

（2）設b=（4-a）q（q≠0，n∈N），求數列{b}的前n項和S.

解析：（1）設{a}的公差為d ，由已知得

3a+3d=68a+28d=-4

解得a=3，d=-1

故a=3-（n-1）（-1）=4-n

（2）由（1）的解答得，b=n·q，于是

S=1·q+2·q+3·q+…+（n-1）·q+n·q.

若q≠1，將上式兩邊同乘以q，得

qS=1·q+2·q+3·q+…+（n-1）·q+n·q.

將上面兩式相減得到

（q-1）S=nq-（1+q+q+……+q）

=nq-

于是S=

若q=1，則S=1+2+3+……+n=

所以，S=（q≠1） （q=1）

四、倒序求和法

在數列求和中，如果和式到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，那么常可考慮選用倒序相加法，如等差數列.S=cos1°+cos2°+…+cos89°，

S=sin1°+sin2°+…+sin89°.

例4. 求證：C+3C+5C+…+（2n+1）C=（n+1）2

解析：設S=C+3C+5C+…+（2n+1）C①

把①式右邊倒轉過來得

S=（2n+1）C+（2n-1）C+…+3C+C（反序）

又由C=C可得

S=（2n+1）C+（2n-1）C+…+3C+C②

①+②得2S=（2n+2）（C+C+…+C+C）=2（n+1）·2（反序相加）

∴S=（n+1）·2

五、數學歸納法

數學歸納法是高考數列考查的一個熱點，也是高考數學考查的邏輯遞推思想.高考數列考查數學歸納法為第一數學歸納法.一般地，證明一個與自然數n有關的命題P（n），有如下步驟.

（1）證明當n取第一個值n時命題成立.n對于一般數列取值為0或1，但也有特殊.

（2）假設當n=k（k≥n，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.

綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n），命題P（n）都成立.

例5. 用數學歸納法求a=n+3的前n項和.

解析：a=4，a=5，a=6，S=4，S=9，S=15歸納假設S=4+，

下面用數學歸納法證明：

（1）當n=1、n=2時，符合S=4n+；

（2）假設當n=k（k≥2）時，S=4k+，那么，當n=k+1時，S=S+a=4k++k+4=4（k+1）+符合公式.

綜合（1）（2），a=n+3的前n項和為S=4n+.

參考文獻：

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