物理解題中的數學應用

摘 要： 數學作為工具學科是研究物理學的重要工具，始終滲透貫穿于整個物理學習和研究的過程中。高考物理試題的解答離不開數學知識和方法的應用。物理解題中常用的數學方法有方程（組）法、比例法、數列法、函數法、幾何（圖形輔助）法、圖像法、微元法等。

關鍵詞： 中學物理教學 物理解題 數學方法

數學作為工具學科是獵取科學知識的重要武器，也是研究物理學的重要工具。因為用數學表達概念和定律，可以達到明晰、簡練、嚴密的效果。借助數學還能導致物理學新規律的發現和新理論的建立。這在物理學的發展史中有很多事例可以證明。中學物理教學提出“運用數學解決物理問題的能力”的問題，應有兩個涵義：（1）有用數學方法或數學語言表達物理的概念和規律，即從物理現象中和物理過程的分析中，經過概括和分析，把物理問題轉化為數學問題，從而有確定其定義或建立公式的能力；（2）有綜合運用數學知識和技巧，正確地解決物理問題的能力。

高考物理試題的解答離不開數學知識和方法的應用，可以說任何物理試題的求解過程實質上是一個將物理問題轉化為數學問題經過求解再次還原為物理結論的過程。

物理解題運用的數學方法通常包括方程（組）法、比例法、數列法、函數法、幾何（圖形輔助）法、圖像法、微元法等。

1.方程法

物理習題中，方程組是由描述物理情景中的物理概念，物理基本規律，各種物理量間數值關系，時間關系，空間關系的各種數學關系方程組成的。

列方程組解題的步驟：

（1）弄清研究對象，理清物理過程和狀態，建立物理模型。

（2）按照物理情境中物理現象發生的先后順序，建立物理概念方程，形成方程組骨架。

（3）據具體題目的要求和各種條件，分析各物理概念方程之間、物理量之間的關系，建立條件方程，使方程組成完整的整體。

（4）對方程求解，并據物理意義對結果作出表述或檢驗。

2.比例法

比例計算法可以避開與解題無關的量，直接列出已知和未知的比例式進行計算，使解題過程大為簡化。應用比例法解物理題，要討論物理公式中變量之間的比例關系，清楚公式的物理意義，每個量在公式中的作用，所要討論的比例關系是否成立。

例題：如圖所示，光滑的半球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A點，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止。現緩慢地拉繩，在使小球沿球面由A到B的過程中，半球對小球的支持力N和繩對小球的拉力T的大小變化情況是（ ）

A.N變大，T變小 B.N變小，T變大

C.N變小，T先變小后變大 D.N不變，T變小

答案：D

3.數列法

凡涉及數列求解的物理問題具有多過程、重復性的共同特點，但每一個重復過程均不是原來的完全重復，是一種變化了的重復，隨著物理過程的重復，某些物理量逐步發生著“前后有聯系的變化”。該類問題求解的基本思路為：

逐個分析開始的幾個物理過程，利用歸納法從中找出物理量的變化通項公式（是解題的關鍵），最后分析整個物理過程，應用數列特點和規律解決物理問題。

無窮數列的求和，一般是無窮遞減等比數列，有相應的公式可用。

例題：用質量為M的鐵錘沿水平方向將質量為m、長為L的鐵釘敲入木板，鐵錘每次以相同的速度v擊釘，隨即與釘一起運動并使釘進入木板一定距離。在每次受擊進入木板的過程中，釘所受到的平均阻力為前一次受擊進入木板過程所受平均阻力的k倍（k>1）。

（1）若敲擊三次后釘恰好全部進入木板，求第一次進入木板過程中釘所受到的平均阻力。

（2）若第一次敲擊使釘進入木板深度為L，問至少敲擊多少次才能將釘全部敲入木板？并就你的解答討論要將釘全部敲入木板，L1必須滿足的條件。

答案：（1）（2），L>（1-）L

4.圖像法

例題：如圖所示，兩光滑斜面的總長度相等，高度h也相等，兩球由靜止從頂端下滑，若球在圖上轉折點無能量損失，則有（ ）

A.兩球同時落地

B.b球先落地

C.兩球落地時速率相等

D.a球先落地

答案：B，C。

提示：此題根據機械能守恒定律，判斷選項C是正確的比較容易，但其他三項用公式計算方法來求解是比較復雜的。以下用圖像法討論。

如圖所示，因為a、b兩球運動的路程相同，所以兩條運動折線與橫坐標所圍的面積相等.末速度的大小相同，為，兩條折線的頂點一樣高。加速度開始b比a大，在轉折點時b比a大，最后兩個小球的速度大小要相等，所以，b球的折線始終在a球折線的上面，要使兩個折線所圍的面積相等，必須t

駕馭數學工具能力的鍛煉要經過一個從簡到繁、由淺入深的過程，不可能一蹴而就。但是，對于需要反復練習的種種習題，千萬不能誤解為“題?！睉鹦g。