高等數學中有關分段函數分界點問題的探討

摘 要： 分段函數是一元函數微積分學中的一類重要函數，本文通過具體的實例分析探討了關于分段函數的分界點在極限、連續性、可微性（可導性），以及復合函數等方面的問題，幫助學生提高有關分段函數應用的解題技巧.

關鍵詞： 分段函數 分界點 可微性（可導性） 復合函數

注：判斷分段函數在分界點處的連續性，應先判斷其在分界點處的極限是否存在，若極限不存在，則函數在該點不連續；若極限存在，則要進一步判斷極限值是否等于該點的函數值，若相等，則函數在該點連續，否則函數在該點間斷.

三、 分界點處的可微性

由于分段函數是一元函數，而一元函數可導與可微是等價的.因此判斷分段函數在分段點處的可微性只需判斷分段函數在分段點處是否可導即可，那么，如何判斷分段函數在分段點處的可導性呢？

注：由上例可以看出判定分段函數在分界點處的可導性或可微性通常有兩種方法：（1）用導數的定義及左、右導數來確定分段函數在分界點處的導數是否存在；用這種方法解決問題比較準確，并且導數的定義式——極限的存在性，不需討論或驗證一些前提條件，是首選的好辦法.因此，在解這類題目的時候，特別是初學時，用這種方法比較合適；（2）可以借助可導與連續的關系來討論，但此方法只能判別函數在該點處不可導，有一定的局限性.

四、兩個分段函數的復合函數

注：將兩個分段函數復合時，復合函數[g（x）]的定義域取決于g（x）的取值情況.

以上主要對一元函數中分段函數的極限、連續、可微（可導）、復合函數等問題進行了簡單的討論，其實在多元函數的微積分學中，這些問題也會經常遇到，可見分段函數在高等數學教學中的作用是一般函數難以替代的.因此學習時必須掌握分段函數的特點，同時理解極限、連續、可微（可導）、復合函數的定義，從研究對象的定義入手 ，簡化分段函數在微積分學中的應用問題.

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]陳剛.關于高等數學中極限思想的研究[J].工科數學，2001.