讓數(shù)學(xué)史滲透到函數(shù)概念教學(xué)中

我們讀書不只為了讀書，而是通過讀書和學(xué)習(xí)提高自己的研究能力，但是書本上的知識(shí)常常是“倒著”寫出來的，已看不到數(shù)學(xué)成長、發(fā)展的生動(dòng)一面，而只看到數(shù)學(xué)的濃縮形式，這就妨礙了我們對這些數(shù)學(xué)理論的深刻理解，于是定理和概念就不能不“倒著讀”。所謂“倒著讀”，就是還原到原始的研究過程中讀。

通過學(xué)習(xí)定理和概念的原始形成過程（就是數(shù)學(xué)史）不僅可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷真正的數(shù)學(xué)思維過程，營造一種探索與研究的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氣氛，而且激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)探索精神，揭示數(shù)學(xué)在文化史和科學(xué)進(jìn)步史上的地位與影響進(jìn)而揭示其人文價(jià)值，都有重要意義。

把數(shù)學(xué)史完美有效地融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，可拓寬數(shù)學(xué)文化背景，提供充足的感性教學(xué)材料和理性的分析思考及縝密的邏輯推理。數(shù)學(xué)史能否發(fā)揮優(yōu)勢，有效幫助教學(xué)，關(guān)鍵在于如何進(jìn)行數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的有機(jī)整合。整合的形式可以靈活多變：①將數(shù)學(xué)史直接滲透融入各章節(jié)，使數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容融會(huì)貫通，渾然一體；②將數(shù)學(xué)史放在每章專設(shè)的“數(shù)學(xué)思想方法”欄中，使數(shù)學(xué)史借助數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容自成體系；③課外開設(shè)數(shù)學(xué)史專題講座；④開辟“數(shù)學(xué)史園地”的墻報(bào)；⑤課外活動(dòng)中廣泛開展數(shù)學(xué)史競猜活動(dòng)。例如，在函數(shù)概念的教學(xué)中，很多學(xué)生感到很抽象，難以理解，很少有學(xué)生能完整說出函數(shù)的定義。教材中函數(shù)概念引入方式為：實(shí)際例子（問題）→數(shù)學(xué)解答→從過程中提煉出函數(shù)概念。這種方式更注重函數(shù)概念引入的系統(tǒng)性，從兩個(gè)階段入手，多層面、多角度地向?qū)W生介紹了以“變量”為基礎(chǔ)的函數(shù)古典定義及以“集合”為基礎(chǔ)的現(xiàn)代函數(shù)定義，所呈現(xiàn)的函數(shù)概念結(jié)構(gòu)較系統(tǒng)和完整，有利于學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的熟練掌握，但學(xué)生對“對應(yīng)關(guān)系”往往缺乏充分的理解，并且函數(shù)概念引入時(shí)間較晚，定義方式理論性較強(qiáng)，比較抽象，不利于學(xué)生深入理解函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，以及自身辯證思維能力的發(fā)展。

函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學(xué)家從集合、代數(shù)、直至對應(yīng)、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的內(nèi)容，從而推動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展。但正是由于函數(shù)概念的抽象性與層次性，學(xué)生往往不習(xí)慣用集合、對應(yīng)的觀點(diǎn)解釋函數(shù)關(guān)系，缺乏用函數(shù)思想分析問題和解決問題的能力。本文擬通過對函數(shù)概念的發(fā)展與比較研究，對函數(shù)概念的教學(xué)進(jìn)行探索。

公元十六世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)上占統(tǒng)治地位的是常量數(shù)學(xué)，其特點(diǎn)是用孤立、靜止的觀點(diǎn)研究事物。具體的函數(shù)在數(shù)學(xué)中比比皆是，但沒有一般的函數(shù)概念。十六世紀(jì)，隨著歐洲過渡到新的資本主義生產(chǎn)方式，迫切需要天文知識(shí)和力學(xué)原理。當(dāng)時(shí)，自然科學(xué)研究的中心轉(zhuǎn)向?qū)\(yùn)動(dòng)、對各種變化過程和變化著的量之間依賴關(guān)系的研究。數(shù)學(xué)研究也從常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向變量數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的這個(gè)轉(zhuǎn)折主要是由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾完成的，他在《幾何學(xué)》一文中首先引入變量思想，稱其為“未知和未定的量”，同時(shí)引入兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系。這便是函數(shù)概念的萌芽。十七世紀(jì)，在對各種各樣運(yùn)動(dòng)的研究中，人們愈來愈感到需要有一個(gè)能準(zhǔn)確表示各種量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)概念。如伽利略是用文字語言表述這些函數(shù)關(guān)系的。“從靜止?fàn)顟B(tài)開始以定常加速度下降的物體，其經(jīng)過的距離與所用時(shí)間的平方成正比”；“沿著同高度但不同坡度的傾斜平板下滑的物體，其下滑的時(shí)間與平板的長度成正比”；顯然，只需引進(jìn)適當(dāng)?shù)姆?，上述的函?shù)關(guān)系就可以明確地用數(shù)學(xué)形式表述：s=kt■；t=kl……以這些具體的函數(shù)為原型，經(jīng)過深思熟慮，人們從笛卡爾的變量思想中得到啟示，從而引出了函數(shù)概念。據(jù)考證，十七世紀(jì)中葉，微積分的創(chuàng)始人之一德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲最先使用函數(shù)（function）這個(gè)名詞。不過，他指的是變數(shù)x的冪x■，x■，…。后來才逐步擴(kuò)展到多項(xiàng)式函數(shù)、有理函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)，以及由它們的四則運(yùn)算、各種復(fù)合所形成的初等函數(shù)。這些函數(shù)都是具體的，都有解析表達(dá)式，并且和曲線緊密聯(lián)系在一起。那時(shí)的函數(shù)就是表示任何一個(gè)隨著曲線的點(diǎn)的變動(dòng)而變化的量。至此，還沒有函數(shù)的一般定義。十七世紀(jì)的一些數(shù)學(xué)家通過一般化獲得了如下函數(shù)概念：

“函數(shù)是這樣一個(gè)量，它是從一些其它的量通過一系列代數(shù)運(yùn)算而得到的?！?/p>

上述定義顯然過于狹窄了，因?yàn)樗聦?shí)上僅適用于代數(shù)函數(shù)的范圍。所以，在其后的發(fā)展中，函數(shù)概念得到了進(jìn)一步擴(kuò)展。隨著數(shù)學(xué)研究的深入，人們逐漸接觸到了一些超越函數(shù)，如對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，盡管這些函數(shù)已經(jīng)超出了代數(shù)函數(shù)的范圍，但是在一些數(shù)學(xué)家看來，兩者區(qū)別僅僅在于超越函數(shù)重復(fù)代數(shù)函數(shù)的那些運(yùn)算無限多次，從而人們又通過一般化提出了如下函數(shù)概念：

“函數(shù)是指由一個(gè)變量與一些常量，通過任何方式（有限的或無限的）形成的解析表達(dá)式。”

這一由歐拉給出的定義盡管仍然過于狹窄，但在18世紀(jì)曾長期占統(tǒng)治地位。

后來數(shù)學(xué)家覺得不應(yīng)該把函數(shù)概念局限在只能用公式表達(dá)上。只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以，至于這兩個(gè)變量的關(guān)系是否要用公式表示，就不作為判別函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。十九世紀(jì)初，函數(shù)概念再次得到了擴(kuò)展，函數(shù)的概念開始擺脫“解析表達(dá)式”，突破用式子表達(dá)的限制。另外，狄里克雷還提出了如下函數(shù)概念：

“如果對于給定區(qū)間上的每一個(gè)x值有唯一的一個(gè)y值同它對應(yīng)，那么，y就是x的一個(gè)函數(shù)。”（類似于初中的函數(shù)概念）

這個(gè)定義抓住了函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只需有一個(gè)法則存在，使得這個(gè)函數(shù)取值范圍中的每一個(gè)x值，有一個(gè)確定的y值和它對應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是公式或圖像或表格或其他形式。這個(gè)定義比前面的定義更具普遍性，為理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了方便，因此這個(gè)定義曾在較長期內(nèi)被廣泛使用。

此時(shí)，可以通過學(xué)生的回顧，再現(xiàn)初中變量觀點(diǎn)描述函數(shù)的概念：在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x和y，如果給定了一個(gè)x值，相應(yīng)地就確定了唯一的一個(gè)y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。

例1：加油站為汽車加油，油價(jià)為每升7.19元，啟動(dòng)加油機(jī)開關(guān)后表示加油量和金額的兩個(gè)窗口的數(shù)字不停地跳動(dòng)直到加油量為12升時(shí)停止，問金額y元與加油量x升之間的關(guān)系式是什么？通過實(shí)例使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)生活中充滿變量間的依賴關(guān)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高發(fā)散思維能力。

最后，如果用任意的數(shù)學(xué)對象取代具體的數(shù)量，并采用集合論的語言，則可以獲得更為一般的“映射”概念：

如果在兩個(gè)集合的元素之間存在有確定的對應(yīng)關(guān)系，就稱為是一個(gè)映射。（類似于高中的函數(shù)概念）

例2：炮彈發(fā)射后，經(jīng)過60s落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為4410m，且炮彈距地面的高度h隨時(shí)間t的變化規(guī)律是h=294t-4.9t■，（0≤t≤60，0≤h≤4410）.

炮彈發(fā)行時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集A={t|0≤■≤60}

離地面的高度h的變化范圍是B={h|0≤h≤4410}

從問題的實(shí)際意義可知，對于數(shù)集A中的任意一個(gè)時(shí)間t，按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集中都有唯一確定的高度h和它對應(yīng)。

在學(xué)生充分分析和討論的基礎(chǔ)上，總結(jié)歸納以上實(shí)例的共同特點(diǎn)：變量之間的關(guān)系都可以描述成兩個(gè)集合間的一種對應(yīng)關(guān)系：對于數(shù)集A中的任一個(gè)x，按照某個(gè)對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的值與之對應(yīng)。

進(jìn)而引出高中函數(shù)的定義：設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，則對于集合中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)，記為y=f（x），x∈A。其中輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f（x）的定義域，所有輸出值y的取值集合叫做函數(shù)y=f（x）的值域。

從生活實(shí)際出發(fā)進(jìn)行教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求，也是數(shù)學(xué)新課程大力提倡的，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)來源于生活又解決生活實(shí)際問題的原則。蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家A.R.辛欽說過：我想盡力做到在引進(jìn)新概念、新理論時(shí)，學(xué)生先有準(zhǔn)備，能盡可能地看到這些新概念、新理論的引進(jìn)是很自然的，甚至是不可避免的。我認(rèn)為只有利用這種方法，在學(xué)生方面才能非形式化地理解并掌握所學(xué)到的東西。這段話很精辟，但若將數(shù)學(xué)史滲透其中，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念的形成過程，則不僅能讓學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)，更能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

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