解答中學數學問題的步驟與要求

中學數學教學中的例題和習題在內容和形式上雖然因年級、教材的不同而有所不同，但一般來說，不外是要求根據已知的條件求得未知的結果，或者是證明某些已知數學結論的正確性。前一形式的問題一般稱為計算題或作圖題；而后一形式的問題一般稱為證明題。

任何形式的數學問題涉及的知識都不可能是單一的，解題過程往往是曲折的。即使對中學低年級來說，要求學生解答的習題也經常具有這樣的特征。因此，解答數學問題必須遵循一定的步驟，符合一定的要求，才能達到解題教學的目的。

解答數學問題的一般步驟：

1.弄清問題的已知條件，已知數量之間或已知圖形之間的相互關系及問題的所求。這在解題過程中稱為題意的掌握或審題。

2.回憶與問題有關的知識、原理，其中包括數學的概念、定理、公式和法則。這在解題過程中稱為知識的重現。

3.探求解決問題的關鍵，確定解題的方案。這在解題過程中稱為問題的類化。

4.寫出問題的解答過程。

5.根據已知條件檢查或驗證答案的正確性和合理性。

6.修改解答過程的敘述。

在解題教學中，教師除了要使學生掌握上述解題的一般步驟以外，還必須在講解例題或解答習題時經常體現出以下要求，使學生懂得解答數學問題的深刻含義，受到嚴格的數學方法的訓練。

一、問題的答案必須是正確的、合理的

在解題過程中，使學生養成自我檢查的習慣，掌握各種檢查或驗算的方法，更具有普遍意義。在解題教學中，檢查和驗算既然作為一個必要的步驟，就必須教會學生掌握一些最基本的檢查和驗算的途徑和方法。例如在解方程時將求得的解代入原方程；用不同的計算公式重復求解；運用逆運算進行驗算；作一精確的圖形來驗證幾何問題的解答，等等。檢查和驗算的途徑和方法是多種多樣的。教師在講解例題時，必須利用一切機會，采用一切可能的手段來保證解答的正確性，從而使學生在解題時也能學習運用這些方法，從而確定自己的解答是沒有錯誤的。目前，許多學生在解題時，尤其是在進行復雜的計算后，對自己的計算結果不確定而依賴于與同學核對答案。對于這種情況，教師必須堅持嚴格要求，使學生養成自我檢查的習慣。

二、解答要有充分的根據

學生在解答數學問題時，往往不能做到言必有據，或者是以直觀代替證明，或者是由于疏漏，以致問題的解答結論雖然是正確的，但未能以充分的理由為根據。

例如：在學生的作業中經常出現與下述解題過程類似的敘述：

如圖1，已知PA與⊙O相切，在⊙O上取一點B，使PB=PA，連接PB，OB，于是∠PBO=90°。

雖然敘述過程反映的圖形屬性是正確的，但不足以說明∠PBO=90°的判斷有充分的根據。

數學問題的解答，無論是論證還是計算，都應該做到言必有據，理由充足。后一步推演都應該以前一步推演的成立為前提。這一種嚴格的要求應首先體現于教師的講解和板演之中。只有當教師解題是一貫嚴謹的，學生才有可能形成嚴謹的態度和思考問題的方式。

三、問題的答案必須是詳盡的

數學問題的答案往往不是唯一的。在解答時要根據問題的條件，考慮可能出現的各種特殊情形，從而求出所有的解。

這些問題的解答的各種情形，都取決于對問題條件的全面考慮。一般在中學高年級階段出現的某些數學問題是經常提出這種要求的，但達到這種要求的訓練卻應該在初中階段就開始。例如：在學習平面幾何的階段，有可能在三角形的作圖題的教學中，使學生懂得“討論”的必要性和怎樣進行討論。然而就目前的教材來說，進行這方面的系統訓練為時過晚。

四、解題方法力求簡捷

在解題教學中，教師通常比較重視向學生介紹一般解題方法，揭示一般的解題規律。這對于學生掌握基礎知識和基本技能是有根本意義的。但對于某些特殊方法的運用也必須十分重視。因為特殊方法仍然是問題本身的因果聯系的反映，只是需要更靈活地運用知識，一般學生不易發現，因而顯得更可取。

例如：三角恒等式tanA tanB tanC=tanA+tanB+tanC（A+B+C=π）的證明通常是先將正切轉化為正弦和余弦的比，然后進行推證。這是一般的證明方法。但如果由tan（A+B）=tan（π-C）利用和角的正切公式來推導，證明過程將簡便得多。因此，在解題教學中，教師既要使學生牢固掌握一般的解題方法，又要使學生具有對各種特殊問題應用各種特殊方法的本領。

五、注意問題條件與結論的推廣

數學問題的解答時常由于一些特殊情形的討論，經過條件或結論的推廣，進而得出具有一般性的解法。

例如：由A+B+C=π，可證得sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC。若進一步考慮條件的推廣，將A+B+C=π改為A+B+C=nπ（n為整數），則可證得sin2A+sin2B+sin2C=（-1）■4sinA sinB sinC，證明方法并無原則上的改變。

又如：由A+B+C=π，可證得tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC，若進一步考慮結論的推廣，則利用相同的解法還可證得tan nA+tan nB+tan nC=tan nA·tan nB·tan nC，n是整數。

對于個別數學問題考慮條件與結論的推廣，對學生掌握解題規律，發展數學思維都有積極意義。但教師對這一類問題必須慎重選擇，決非任何問題都加以任意推廣。有些問題雖然可以推廣條件或結論，但不一定在教學上有積極的意義。

六、解題過程的敘述應合乎邏輯

數學問題的解答過程雖不必規定唯一的敘述形式，但應有統一的要求，即敘述形式應合乎邏輯。無論是簡略的敘述或是詳細的敘述都應該有條不紊地寫出主要的判斷過程，并且交代使每一個判斷成立的前提。因此，教師在講解例題時所做的示范，主要在于說明哪些步驟是必須交代的，哪些步驟是可以省略的。對于低年級的學生或是對于比較熟悉的解題形式的運用，則應使學生能夠掌握敘述上的取舍。應要求學生參照教材中的范例或教師的示范，改進自己的解題的敘述。尤其是在高年級階段的解題教學中，邏輯表達能力的培養不能拘泥于某種規格，而應著重培養學生獨立的表達能力，使他們主動考慮如何合乎邏輯地、條理清晰地、簡明扼要地敘述自己的解題過程。