了解數學史走進微積分

摘 要：教學“導數及其應用”，不妨先用一課時讓學生了解有關微積分的數學史。其目的是讓學生初步認識微積分在數學思想史和科學思想史上的價值，以激發學習微積分的興趣與動力。為此，要講：什么是微積分；微積分研究的歷史；為什么要學習微積分；教師本人學習微積分的經歷和體會。教學效果非常好，使教師和學生樹立起教好、學好微積分的信心。

關鍵詞：微積分；數學史；學習

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2013）12-0048-04

課堂實錄

1.什么是微積分

師：同學們，聽說過微積分嗎？

生：聽說過。

師：從哪里聽說過？

生：在網上看到的。

生：從別人那里聽說的，聽說還很難學。

師：那人也是學生嗎？

生：是正在參加自考的學生。

師：其實，微積分并不難學，而且是比較容易學的。我們現在要學習的新的一章“導數及其應用”是微積分的一個很小很小的部分。

在這里，我們有必要先了解一下什么是微積分。

微積分是研究函數微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。通俗的說，“無限細分”就是微分，“無限求和”就是積分。微分和積分既對立又統一，互為逆運算。

2.關于微積分的歷史

師：微積分堪稱人類智慧最偉大的結晶之一。從17世紀開始，隨著社會生產力的發展，以及航海、天文、礦山建設等許多問題要解決，數學也開始研究變化著的量，數學進入了“變量數學”時代，使微積分不斷完善成為一門學科。

歷史上，微積分是由兩位科學家，牛頓和萊布尼茨幾乎同時發現的。

大家應該知道牛頓吧！知道多少？

生：知道，我們在物理學習中就有牛頓定律，還有萬有引力定律，但不知道牛頓在數學中還有貢獻。

師：在17世紀60年代的短短幾年里，牛頓成功地將他的前輩們發展出的關于切線和面積的所有材料進行統一并推廣，成為我們今天的微積分教科書中展示的神奇的解決問題的工具。

關于萊布尼茨，同學們聽說過嗎？

生（多數）：沒有聽說過。

生（個別）：只是在網上看到過一些。

師：萊布尼茨是德國科學家，他在數學、邏輯學、文學、史學和法學等方面都很有建樹。

萊布尼茨的研究成果遍及力學、邏輯學、化學、地理學、解剖學、動物學、植物學、氣體學、航海學、地質學、語言學、法學、哲學、歷史、外交等等，“世界上沒有兩片完全相同的樹葉”就是出自他之口，他還是最早研究中國文化和中國哲學的德國人，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。由于他創建了微積分，并精心設計了非常巧妙簡潔的微積分符號，從而使他以偉大數學家的稱號聞名于世。

這兩位數學家在微積分學領域中的卓越貢獻概括起來就是：他們總結出處理各種有關問題的一般方法，認識到求積問題與切線問題互逆的特征，并揭示微分學與積分學之間的本質聯系；他們都各自建立了微積分學基本定理，他們給出微積分的概念、法則、公式和符號理論，為以后微積分學的進一步發展奠定了堅實而重要的基礎。總之，他們創立了作為一門獨立學科的微積分學。

3.為什么要學習微積分

師：同學們，通過上面關于微積分的介紹，你知道我們為什么要學習微積分嗎？哪些方面需要微積分，能歸納一下嗎？

生：理論科學的發展需要微積分。

師：還有呢？

生：科學技術的發展需要微積分。

師：還有呢？

生：廣大技術員工需要微積分。

師：那你們呢？

生：不知道。

師：實際上，你們自身的發展也需要微積分。那我們就分別細說一下吧！

對于理論科學的發展需要微積分，恩格斯曾經說過：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辨證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要了”。微積分的建立是人類頭腦最偉大的創造之一，一部微積分發展史，是人類一步一步頑強地認識客觀事物的歷史，是人類理性思維的結晶。它給出一整套的科學方法，開創了科學的新紀元，并因此加強與提升了數學的作用。

對于科學技術的發展需要微積分，可以說，有了微積分，人類才有能力把握運動和過程。有了微積分，就有了工業革命，有了大工業生產，也就有了現代化的社會。航天飛機、信息技術、生物工程、現代交通、神州飛船、航母建設等都離不開微積分。

對于廣大技術員工需要微積分，是因為運用微積分的領域比較廣泛。比如經濟數學：用最小的成本獲得最大的利潤。比如工程設計：各種曲線段的長度，各種封閉圖形的面積，各種幾何體的體積，各種非恒定的速度問題，各種非均勻物體的受力分析。比如統計與預測：各種非等量的繁殖問題，各種非常數的增減問題，各種非常態的分布問題等等。

對于我們自身的發展也需要微積分，一是知識的發展需要微積分，進入高等階段的數學學習，微積分是必修課程，也是理工農醫商類的公共課程；二是能力的發展需要微積分，在我們的生活和工作中，處處需要微積分學中所體現出來的數學思想和方法。比如思考問題的嚴密性，解決問題的最優化，學會用數學的方法去分析和解決實際問題。

4.本人學習微積分的經歷

師：由于社會和歷史的原因，老師本人學習微積分的路程頗為坎坷。同學們，想知道老師本人學習微積分的那段不平凡的經歷嗎？

生（眾）：想！

師：就教材的版本而言，我先后學習過吉林大學版、復旦大學版和四川大學版的《數學分析》。學習《數學分析》，就是比較系統地學習微積分。

生：為什么要學習那么多版本？學習一個版本不行嗎？

師：一般來說，在高校學習《數學分析》或《高等數學》，就只是學習一個版本。

但是，我的經歷比起你們現在是較為特殊的。我1975年高中畢業后，本應該進入大學繼續學習，卻去農村插隊當知青，不知你們聽說過“知青”沒有，就是知識分子到農村去，接受鍛煉，接受再教育。

生（多數）：沒聽說過，不知道。

生（個別）：還是聽說過。

生：為什么要去呀？

師：那是社會和歷史的原因，鑒于時間關系，現在我們不談這個話題。

生：老師，您在那里呆了多長時間？做些什么？與農民一樣嗎？累嗎？

師：一呆就是三年。與農民一樣，整天抬石頭修梯田，背糞土到莊稼地，種地，收割，等等。收工以后還要去背水回來做飯，真累！

生（眾）：啊……

生：后來呢？

師：1978年參加剛剛恢復的全國高考，由于中專和大專只能選擇其一，如果選擇大專，那么已經荒廢了三年學業的我實在是沒有把握，因此選擇了中專，結果被錄取到廣元師范學校，大家知道就是現在我們川北幼兒師范高等專科學校的前身。

生：啊！那您也是廣師畢業？

師：是的。1980年畢業后留校任教，直到現在。就是在廣師學習期間，當時我是理科班，學的是吉林大學版的《數學分析》，任教期間分別參加了專科學校和本科院校的學習，相繼學習了復旦大學版和四川大學版的《數學分析》。因此，學習微積分的路程頗為坎坷。但是，對于你們來講，就不會再有我這樣的經歷了。

就我本人學習狀況而言，失去過讀書機會的人才倍加珍惜學習機會。雖然是學習同一課程的三種版本，但我卻在學習每一種版本時都那么如癡如醉，都去購買或借閱了相應的習題集，成百上千的習題的完成需要大量的時間，占用了我幾乎一切可以利用的時間，甚至在宿舍熄燈后去租用附近的民房而挑燈夜戰。當然，我們現在不提倡這種行為，但當時那種失去過讀書機會的人就是這樣珍惜學習機會的。

好在工夫不負有心人，正是這種比較扎實的專業功底，才使得我享用到了知識的力量，一方面在教學中能夠駕輕就熟，另一方面在教學研究中能夠成就上百篇的研究論文得以發表。

同學們，每個人來到這個世界上都應該有所追求，雖然我們還不能與牛頓和萊布尼茨這樣偉大的科學家相比，給人類創造巨大的財富，但我們總應該力所能及地做出我們的貢獻吧！不瞞大家，我本人作為教師，就有個人的教育理想。想聽聽嗎？

生（眾）：想！

師：我的教育理想，就是在我的教育生涯中實現兩個愿望。一是成為一名特級教師，二是撰寫一部具有一定影響力的屬于自己的專著。前者在幾年前已經實現，成為四川省中學特級教師；而后者正在實現，即《數學基本能力學習》一書正在聯系出版之中。我想，這樣的人生才是有價值、有意義的人生。

生（眾）：（沉思）

5.怎樣學習微積分

師：同學們，聽了以上關于微積分的介紹，我們應該思考一個問題：怎樣學習微積分？哪位同學能夠談一談？或者說一說你有什么心得和收獲？

生：我愿意學習微積分。

生：我渴望今后能夠系統地學習微積分。

生：我對學習微積分產生了興趣。

生：我希望自己能夠走進微積分。

生：原來微積分是那么的誘人。

生：我一直對學習數學不感興趣，聽了老師的學習經歷，我感到慚愧，是自己對學習數學失去了信心，根本沒有努力，我很后悔。

生：我要像老師那樣學習微積分。

生：我也要做一個有人生追求的人。

……

師：大家對學習微積分有如此信心和認識，老師感動無比高興。

我們應該明白一個道理：學習數學并不只是為了學會怎么去解一道題，而更多的是為了在解這道題的過程中鍛煉思維，體會頭腦高速運轉的感覺，這些很奇特的抽象的東西將會在我們今后的人生道路上散發著數學思維的芳香。

希望同學們在本章的學習中能夠深入地體會到微積分的美感，能夠享受到學習微積分的樂趣。

6.作業布置

請同學們結合關于“微積分”的有關資料思考以下問題：微積分的創立說明了什么？它的歷史意義是什么？你有什么體會？

教學反饋

課前，我根據學生和教材的特點，精心準備，大膽設計，增加了“為什么要學習微積分”、“本人學習微積分的經歷”和“怎樣學習微積分”等內容，以期為學生學習“導數及其應用”打好思想基礎。但我對微積分的廣泛應用還顯得準備不足。

課中，我察言觀色，發現學生對“什么是微積分”這種比較抽象的概念和表述比較茫然，只能點到為止；學生對“微積分的歷史”，對牛頓和萊布尼茨的介紹很感興趣，于是就比預設適當地多講了點內容；學生對“為什么要學習微積分”是在教師的啟發之下體悟出來的，因此重點講了“自身的發展也需要微積分”；學生對教師“本人學習微積分的經歷”出乎預料的專注和在意，看來這種教學資源的作用不可低估；學生對“怎樣學習微積分”異常活躍，使教師能夠水到渠成地進行歸納和板書。

課后，我對學生進行了解，聽到這樣的聲音：“這節課我們之所以很投入，是因為我們喜歡聽這些歷史故事，特別是老師本人學習微積分的經歷對我們的觸動很大，令人欽佩，很受鼓舞。其實我們也想學好數學，就是缺乏一種自信，缺少一種動力，缺少一種追求。在本章的學習中我們也要像老師那樣鍛煉我們的數學思維……”

這節課是為學習微積分的初步內容“導數及其應用”而進行的開場課。這是一種嘗試，為了“走進微積分”，不妨先來“了解數學史”。實踐表明，不但教學效果好，而且使我的教學知識有些新的生成。

生成之一：教師應學會捕捉教學契機

教學契機蘊含于教學活動之中，是教師借此進一步開展有效教學的良好機會，錯過了或者沒能抓住這種機會，恐怕就再難以利用，即便過后想起來再來利用，也難以達到當時的效果，正所謂機不可失，失不再來。學習“導數及其應用”，應該讓學生先來了解微積分，了解數學史，這些數學史很值得了解，很有助于學生學習新知，其中蘊含很好的著豐富的數學文化和數學思想，是一種很好的教學契機，實踐證明了抓住這種教學契機的效果。

生成之二：教師應學會利用自身資源

教師本身就是一種教學資源，這不僅包括教師的學識和才藝，也包括教師的經歷、意志和品質；不僅包括教師身上讓學生看得見的“亮點”，也包括教師身上使學生看不見的“閃光點”。這些“光亮之點”可以影響學生、照耀學生、激勵學生。學生認同教師，喜歡教師，尊敬教師，就會認同教師所教的課程，喜歡教師的課，尊重科學。因此，教師應學會利用自身資源。

生成之三：磨刀不誤砍柴工

俗話說得好：“磨刀不誤砍柴工。”這道理似乎誰都明白，但說來容易做著難，往往是刀鋒卷刃照樣砍，結果是既費力氣又傷神。在本課例中，學生一旦通過了解微積分的數學史而生發學習微積分的強烈愿望，還怕不能學好微積分嗎？正如課堂中所進行問題探究一樣，學生能夠自主成功地探究問題，還怕探究的結論不會應用嗎？

反思自己以往的教學，時有抱怨學生如何如何，卻較少思考教師自身如何如何，較少考慮在教學中滲透那些能使學生樹立信心、確立基點和明白道理的思想和方法。事實上，數學教師應該樹立一份信心：我能教好數學；確立一個基點：掌握基本的育人方法；明白一個道理：不是為了數學而教數學。正如萊布尼茨所說：“世界上沒有兩片完全相同的樹葉”，教學方法要因學生而異，教學效果也因教師而異。教師也應學會“站在巨人的肩上”，托起教育的希望，創造教育的奇跡。