淺談概念教學中數量關系的積累

潘文紅

概念教學是數學教學中不可缺少的重要組成部分。運算概念是解決問題的必要基礎，其中，運算意義理解與否將直接影響學生解決問題能力的培養。因此，將解決問題教學和運算意義緊密結合成為課程改革中的一個重大變化。現結合人教版“平均分”的教學片斷，談談自己對概念教學的一些思考，希望能起拋磚引玉之用。

一、結合運算意義教學，注重數量關系的原始積累

片斷1：“平均分”概念引入環節

師：把6個橘子放在2個盤子里，有幾種不同的分法？

生1：一個盤子放1個，另一個盤子放5個。

生2：一個盤子放3個，另一個盤子放3個。

生3：一個盤子放2個，另一個盤子放4個。

……

師：你認為哪種分法比較特殊？

生4：第二種，因為兩個盤子分得一樣多。

師：像這樣的每份分得同樣多的，叫做平均分。（板書課題：平均分）

師：你能說說這一題是把幾個橘子平均分成幾份，每份幾個嗎？

生5：把6個橘子平均分成2份，每份3個。

……

片斷2：

師（出示右圖）：圖中哪些物品是平均分的？為什么？

師：你能用剛才的話說說是把什么東西平均分成幾份，每份有幾個嗎？

師：牛奶不是平均分的，你有辦法使它平均分嗎？

生1：從第三列拿2瓶到第二列。（課件根據學生的回答動態演示）

師：你能用剛才的語言完整地說說是怎么分的嗎？

生2：把12瓶牛奶平均分成3份，每份4瓶。

師（小結）：我們在判斷平均分的時候，要說清楚是把幾個東西平均分，也就是分的總數；分了幾份，也就是分的份數；每份幾個，也就是每份數。

……

分析與思考：

從片斷1中，我們不難發現，教師引出平均分概念后，沒有馬上進入下一個環節的教學，而是讓學生結合情境圖嘗試用語言表述圖中三者數量之間的關系。通過教師的引導，學生的表述經歷了從“不完整”到“逐步完整”的過程，初步感知了數量間的關系。

片斷2作為平均分概念的辨析和鞏固環節，情境圖的設計是獨具匠心的。分數的意義、統計圖的感知、求平均數“移多補少”思想在此圖中都有所滲透，從而使平均分概念得以更多的延伸。更難能可貴的是，教師在教學過程中關注學生的生成，將有形教學于無形之中。同時，在判斷是不是平均分后讓學生說明理由時，學生由于受前面乘法學習的影響，他們更多關注圖中是幾個幾個分的，而沒有把三個數量之間的關系系統化。為了讓學生更好地理解乘除法數量之間的關系，教師有必要讓學生結合圖中的具體數量用完整的數學語言表述“平均分”，從而根據學生的表述自然地引出“總數”“份數”和“每份數”的概念，溝通份總關系數量之間的聯系。

基于以上分析，那如何在運算概念教學中，讓學生逐步積累數量關系呢？我認為有必要做到以下兩點：（1）建立起情境和數量關系間的聯系。《數學課程標準》明確指出：“結合具體情境，體會四則運算的意義。”當一個數的運算與代表情境中的物體相聯系時，學生才能在頭腦中建立真正的意義。在此過程中，學生也會有意識地思考情境中的問題與運算意義的聯系，使基本數量關系的教學得到潛移默化的滲透。（2）學會用數學語言敘述數量關系。概念是以語言和符號為中介，學生對數學語言表述理解能力較差將直接影響對概念的鞏固和運用。同樣，能否從現實情境中抽象出問題的數量關系，在解決問題能力的培養中尤其重要。因此，我們有必要在數量關系形成的過程中，提供相對真實的現實情境，讓學生嘗試學會用數學語言敘述最原始的、最基本的數量關系，有助于學生對抽象運算意義的理解。

二、通過對比操作，注重數量關系的抽象概括

片斷3：

出示“填一填”：（1）把18個橘子，平均分給6個小朋友，每個小朋友分到（ ）個。（2）18個橘子，每個小朋友分到6個，可以分給（ ）個小朋友。

師：誰上臺用圓片擺一擺？（用彩色圓形磁石在黑板上擺）其他同學仔細看，他擺得對嗎？

師：說一說，你是怎么分的？

生1：我是將18個橘子平分成為6份，每個小朋友分到3個。

生2：有18個橘子，每個小朋友分到6個，可以分給3個小朋友。

師（小結）：同樣是6，一個表示平均分的份數，一個表示每份分到的個數。由此說明，分的要求不同，分出來的情況也就不同。

……

分析與思考：

在傳統的“除法認識”教學中，教師普遍認為最難區分的就是“等分除”和“包含除”的概念。在片斷3的教學中，第（1）題的設計是面向全體學生，讓學生選擇合適的方法經歷平均分的過程。第（2）題是讓學生通過兩種分法的比較，在實踐操作中感知“份數”和“每份數”的區別，然后通過觀察、比較等活動，充分展示數量關系的形成過程，使學生更清楚地理解“總數”“份數”和“每份數”三者數量之間的關系。在這個過程中，滲透了數量關系的教學，使學生深入理解除法的運算意義，掌握了除法問題的結構特征，為以后除法意義的學習和用除法解決問題積累更多的知識經驗。同時，比較作為解決問題中的基本策略，既能加深學生對運算意義的理解，又能滲透“聯系”的數學思想。由此可見，注重在學生理解運算意義的前提下進行數量關系的抽象概括，是教師進行概念教學的有效方法。

三、設計開放練習，注重數量關系的靈活運用

概念教學的應用練習，要根據不同階段設計不同發展水平的練習，讓學生運用所學的概念去解決實際問題，感受到運用數學解決問題的成功喜悅。

例如，在“平均分”教學的練習環節中，教師設計了一道開放題：如下圖，分一分，圈一圈。要求學生可以直接想口訣圈出得數，如果有困難可以先用小圓片來擺一擺，再圈一圈。

開放題的設計在理念上體現“不同的人學不同的數學”。同時，學生動手操作后已經能夠用完整的語言敘述整個平均分的過程了，教師根據學生的回答板書整理成如下表格。

通過觀察表格，引導學生橫向觀察得出：每組數據中都用到了積是十八的口訣；縱向觀察得出：總數不變，平均分的份數越多，每份分得的個數就越少。同時，讓學生結合具體的操作，區分份數中的2和每份數中的2是不同的，從而讓學生進一步整體感悟份總關系中三個數量之間的內在關系。

一道小小的開放題，不僅為之后學習用乘法口訣求商打下基礎，還滲透了函數思想。除此之外，教師在最后出示“總數18個，平均分成4份，每份會是幾個”的問題中滲透了有余數除法，讓學生帶著問題課后繼續探究。

總之，在數量關系的教學中，我們要重視讓學生經歷概念和數量關系形成的過程，使學生積累和理解數量之間的關系，為今后解決問題做好更多的準備。

（責編 杜 華）