運(yùn)用圖示語言，提升解題能力

蔡杰

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》在前言中指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解。”解決問題教學(xué)的難點(diǎn)就在于讓學(xué)生學(xué)會(huì)理解、分析抽象的數(shù)量關(guān)系。如何提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，就需在從問題情境到解決問題這個(gè)通道上建立一個(gè)中介，去幫助學(xué)生理解和分析問題中的數(shù)量關(guān)系。而圖示語言，就是一個(gè)很好的中介和橋梁。圖示語言可以是線段圖、表格，也可以是幾何圖形，也可以是等量關(guān)系式，圖示語言可以用運(yùn)算符號(hào)、圖形、字母表示，也可以用方框、箭頭等直觀的符號(hào)來表示。因此圖示語言具有形象具體又簡單抽象的雙重性的特點(diǎn)，它比語言文字更直觀，能有效地過濾問題情境中的凌亂的、情節(jié)性的、非本質(zhì)的信息，使得問題情境數(shù)學(xué)化，凸顯問題中的數(shù)量關(guān)系，因此能夠有效地幫助學(xué)生找到解決問題的思路。

蘇教版新教材特別安排了“解決問題的策略”單元的教學(xué)，這是培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的重要載體。下面結(jié)合四、五年級(jí)“解決問題策略”單元的教學(xué)，談?wù)勥\(yùn)用圖示語言提高學(xué)生解決問題能力的做法和體會(huì)。

一、有意滲透，讓學(xué)生喜歡圖示語言

在小學(xué)低年級(jí)時(shí)教材還沒有提到解決問題的策略，但有些較復(fù)雜的實(shí)際問題就已經(jīng)需要用圖示語言來幫助分析理解了。

例如“媽媽買來一些桃，上午吃了一半，下午又吃了剩下的一半，盤里還剩下3個(gè)，媽媽原來買了多少個(gè)桃？”一些學(xué)生對(duì)逆向思考的數(shù)量關(guān)系難以理解。教學(xué)時(shí)教師可以畫出用正方形表示的示意圖（如圖1），幫助學(xué)生理解題意。有了這個(gè)模型的支持，學(xué)生很容易得出原來桃子的個(gè)數(shù)：3×2=6（個(gè)），6×2=12（個(gè)）。解答完成后教師再讓學(xué)生說說畫示意圖分析的好處，也讓學(xué)生學(xué)著畫一畫。

再如， “姐姐有l(wèi)0本書，給弟弟2本后兩人同樣多，弟弟原來有多少本書？”教師同樣可以畫出直觀的示意圖幫助學(xué)生理解。從這個(gè)用圓圈表示的示意圖（如圖2）中，學(xué)生就清楚地看出：姐姐原來的10本書減去2等于8本，是姐姐現(xiàn)在的本數(shù)，也就是現(xiàn)在弟弟也有8本，要求原來弟弟的本數(shù)還要再減去2本，列式為10-2-2=6（本）。從而順利解決問題。

在低年級(jí)的解決問題的教學(xué)中，教師首先要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)看懂圖示語言，體會(huì)到示意圖既簡潔又形象，通過示意圖容易找到解決問題的思路，讓學(xué)生對(duì)圖示語言產(chǎn)生好感和有積極的畫圖愿望，并且鼓勵(lì)學(xué)生解決問題時(shí)多畫圖，培養(yǎng)學(xué)生畫示意圖解決問題的意識(shí)。

二、有效引導(dǎo)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用圖示語言

從四年級(jí)開始，蘇教版教材正式編排了“解決問題策略”單元的內(nèi)容。“列表整理解決問題的策略”是解決問題策略的起始單元，表格是一種常用的圖示語言，列表整理問題中的信息是解決問題的基本策略。所以這一單元不單是要教會(huì)學(xué)生解答“歸一”和“歸總”數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，還要承擔(dān)更多的教學(xué)任務(wù)：讓學(xué)生喜歡圖示語言，產(chǎn)生畫圖的需要，學(xué)會(huì)列表的方法，體會(huì)到列表畫圖的好處和作用。

首先要讓學(xué)生產(chǎn)生運(yùn)用表格這種圖示語言的需要。課堂引入環(huán)節(jié)可設(shè)計(jì)讓學(xué)生看用文字抄寫的課程表與表格整理后的兩種課程表，并找出星期三第三節(jié)課是什么課的活動(dòng)環(huán)節(jié)。通過對(duì)比讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)用列表的方法整理信息能更清楚明了。這樣的設(shè)計(jì)能夠重視學(xué)生的內(nèi)心感受，讓學(xué)生真正產(chǎn)生列表整理的需要。

二是要讓學(xué)生經(jīng)歷列表整理?xiàng)l件和問題的過程，鍛煉學(xué)生列表的能力。用列表方法整理信息，重點(diǎn)是要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)收集題目中的條件和問題，并按一定的順序填寫在表格里。因此在學(xué)習(xí)列表整理?xiàng)l件和問題時(shí)分三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)，首先師生討論表格中需要整理哪幾個(gè)方面的內(nèi)容，讓學(xué)生有個(gè)思考方向，并嘗試整理；然后匯報(bào)整理的結(jié)果，對(duì)學(xué)生不同的整理結(jié)果進(jìn)行比較，討論怎樣摘錄更好；讓學(xué)生再次修改自己的表格，學(xué)會(huì)列表整理方法；最后把整理過的條件問題和原題進(jìn)行比較，體會(huì)列表簡潔有序的優(yōu)點(diǎn)，學(xué)會(huì)列表整理的方法。

三是對(duì)比、體會(huì)列表的優(yōu)點(diǎn)，增強(qiáng)運(yùn)用圖示語言的意識(shí)。讓學(xué)生體會(huì)列表策略的價(jià)值，并自覺應(yīng)用這一方法解決問題也是本單元的重點(diǎn)，要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、反思、總結(jié)。例如讓學(xué)生學(xué)習(xí)列表整理的過程中，就將列表整理與情境圖進(jìn)行對(duì)比。通過對(duì)比使學(xué)生明白，情境圖里的信息是復(fù)雜的、凌亂的、情景化的，有的信息還是多余的，而表格里的信息是簡潔的、有序的、數(shù)學(xué)化的，是經(jīng)過篩選后的重要信息和有用數(shù)據(jù)，都與要解決的問題直接相關(guān)，有助于把握實(shí)際問題里的數(shù)學(xué)內(nèi)容，能夠簡化思路。例題教學(xué)后又教給學(xué)生畫簡化表格的方法，通過對(duì)簡化的表格的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生明白列表整理信息更簡潔有序，從而形成自愿運(yùn)用列表法解決問題的積極情感。

三、重視訓(xùn)練，讓學(xué)生養(yǎng)成用圖示語言分析問題的習(xí)慣

蘇教版教材四年級(jí)下冊的解決問題策略單元安排的是幾何圖形面積和行程問題的實(shí)際問題的教學(xué)。解決這些問題時(shí)，運(yùn)用圖示語言來幫助理解和分析就顯得更加重要了。所以教學(xué)中要充分制造讓學(xué)生畫示意圖的機(jī)會(huì)，讓畫示意圖成為學(xué)生的一種習(xí)慣。

比如出示例題“梅山小學(xué)有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時(shí)，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？”后，讓讀了一遍后覺得已經(jīng)理解題意的學(xué)生舉手。顯然，舉手的人不多。教師接著說：“遇到這種比較復(fù)雜的面積計(jì)算的問題，大家覺得應(yīng)該怎么辦，有沒有好的方法幫助我們來理解題意？”從而引出通過畫示意圖來幫助分析。看到示意圖（如圖3），學(xué)生很容易就理解了題意。這時(shí)再讓學(xué)生自己學(xué)著畫一畫示意圖，并最終解決問題。最后請(qǐng)學(xué)生交流解題思路時(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生回顧剛才解決問題的過程，讓學(xué)生體會(huì)到畫圖的價(jià)值和作用。

再如“張莊小學(xué)原來有一個(gè)長方形操場，長50米，寬40米。擴(kuò)建校園時(shí)，操場的長增加了10米，寬增加了8米。操場的面積增加了多少平方米？”這個(gè)問題，有些學(xué)生容易理解成為增加的面積是10×8=80（平方米）。讓學(xué)生畫出示意圖（如圖4）后，他們就能理解增加的面積不是一個(gè)長方形，而是一個(gè)“L”形，要通過分割成幾個(gè)長方形來求增加部分的面積。

比較復(fù)雜的行程問題，關(guān)系到兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方向和路程，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，此時(shí)用箭頭、線段來表示行走的方向和路程就能直觀形象地表示出路程之間的數(shù)量關(guān)系。通過相對(duì)而行、相背而行、同向而行的行程問題也能鍛煉學(xué)生畫線段圖的能力。例如“一艘貨輪和一艘客輪同時(shí)從南京開往武漢。客輪每小時(shí)行23千米，貨輪每小時(shí)行28千米。經(jīng)過20小時(shí)貨輪到達(dá)武漢，此時(shí)客輪距離武漢有多少千米？”這個(gè)問題，學(xué)生自己根據(jù)題目的敘述，逐步畫出線段圖（如圖5），就會(huì)知道，要求客輪距武漢有多少千米，就是求貨輪與客輪的路程差，從而列出算式“28×20-23×20=100米”。示意圖的作用顯而易見。

圖5

像這樣的數(shù)學(xué)問題還有很多，比如圓形、組合圖形等復(fù)雜的圖形面積計(jì)算問題，畫示意圖幾乎成了解題最好的助手。通過平時(shí)課堂中有意識(shí)的訓(xùn)練，讓學(xué)生養(yǎng)成邊讀題，邊畫示意圖的習(xí)慣，會(huì)給學(xué)生解決問題帶來很大的好處，同時(shí)在這樣訓(xùn)練的過程中學(xué)生解決問題的能力也有了進(jìn)一步的提高。

四、突出優(yōu)勢，提升學(xué)生運(yùn)用圖示語言解決問題的能力

倒推解決問題的策略是五年級(jí)下冊的內(nèi)容，對(duì)于較復(fù)雜的倒推問題，學(xué)生卻不容易理解其中的數(shù)量關(guān)系。所以教會(huì)學(xué)生畫倒推示意圖來分析題意尤為重要。倒推問題的種類很多，不同的示意圖對(duì)理解題意、解決問題的幫助大小也不同。所以在教學(xué)畫示意圖時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)比較、選擇，體會(huì)不同示意圖對(duì)解決問題的作用，從而畫出合適的示意圖。

1.單一數(shù)量變化的倒推問題，用方框和箭頭的方法來畫示意圖比較合適

比如，“小明原來有一些郵票，今天又收集了24張，送給小軍30張后，還剩52張。小明原來有多少張郵票？”畫出這種方框加箭頭的圖（如圖6）讓人更加容易理解。

圖6

遇到比較復(fù)雜的單一量倒推的問題，用這種方框和箭頭的示意圖分析更能體現(xiàn)它的作用。又如“李白喝酒”的一道趣題：“李白街上走，提壺去買酒。與店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。借問此壺中，原有多少酒？”學(xué)生順著題意畫出箭頭方框示意圖（如圖7），都不難一步一步倒推算出原來酒壺中有0.875斗酒。

圖7

2.“比一半多幾或少幾”的倒推的問題，用畫線段圖的方法分析更容易理解

比如，“小明看一本故事書，已經(jīng)看了一半還少3頁，還剩53頁沒看。這本書有多少頁？”引導(dǎo)學(xué)生畫出這樣的線段圖（如圖8）來理解題意，顯然就比畫方框箭頭的示意圖來得直觀，容易理解。學(xué)生很容易明白是用“53-3”求出這本書一半的頁數(shù)，而不是“53+3”。

圖8

3.有些倒推問題用表格示意圖更簡單、清楚

比如，“一種毛毛蟲，從幼蟲長到成蟲身長每天增加一倍，到第15天時(shí)長到8厘米。問第幾天長到0.5厘米？”這個(gè)問題用列表的方法來解決會(huì)更清楚有效。

4.多種數(shù)量變化的倒推實(shí)際問題，用多行方框加箭頭的示意圖來表示會(huì)更有效

比如，“有一個(gè)書架有上、中、下三層，共有360本圖書。從上層拿30本到中層，再從中層拿45本到下層，再從下層拿35本到上層后，三層的圖書同樣多。原來三層上各有多少本書？”這道題中的三個(gè)數(shù)量都有兩次變化，比較復(fù)雜。引導(dǎo)學(xué)生用方框和箭頭示意圖的方法，畫出三層書架中圖書的變化情況，問題就一目了然。看著這個(gè)示意圖（如圖9），學(xué)生不難列出算式：上層“120-35+30=115（本）”，中層“120+45-30=135（本）”，下層“120+35-45=110（本）”。

圖9

總之，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖示語言解決問題是一個(gè)長期的過程，教師要在平時(shí)的教學(xué)中有目的、有計(jì)劃地持續(xù)訓(xùn)練，讓學(xué)生喜歡圖示語言，體會(huì)圖示語言的好處，養(yǎng)成運(yùn)用圖示語言來分析問題的習(xí)慣。