讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的過程

王保衛(wèi)

數(shù)學(xué)中的原理都是由一些概念構(gòu)成的，而數(shù)學(xué)中的推理和證明實質(zhì)上由一連串的概念、原理和判斷組成。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容主要是數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理的教學(xué)。而數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)原理教學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的內(nèi)容。[1]概念是對客觀現(xiàn)實的主觀反映，揭示的是客觀事物的本質(zhì)屬性，它具有高度的概括性和抽象性，這與小學(xué)生以形象思維為主的思維特征不相吻合。所以，小學(xué)教師要根據(jù)兒童的認(rèn)知規(guī)律和思維特點，為他們提供充分的觀察、分析、思考、歸納等機會，讓他們積極參與到建模、比較、操作、同化、變式等數(shù)學(xué)活動中來，“親身經(jīng)歷”概念的產(chǎn)生、形成、發(fā)展、應(yīng)用的過程，從具體、感性的認(rèn)識逐步過渡到抽象、理性的認(rèn)識，讓概念的“形象”清晰起來，讓概念的本質(zhì)屬性凸顯出來。

一、 在建模中，體會概念的概括性

【片斷】

……

師：大家能想出一件“事情”，用5-2=3來表示嗎？

生1：教室里有5個小朋友，走了2個，還剩下3個。

生2：花園里有5朵花，摘了2朵，還剩3朵。

生3：5枝鉛筆，丟了兩枝，還剩3枝。

師：為什么有的事情發(fā)生在教室里，有的事情發(fā)生在花園里，而且有的是說小朋友，有的是說摘花，完全不一樣的事情，卻能用同一個算式來表示呢？

生1：因為它們表示的意思是一樣的。

生2：都是從5里去掉2，剩下3。

生3：5-2=3的本領(lǐng)真大啊！

【分析】

“減法”是什么？“減法”是解決一類問題的模型，從一個量中去掉一個量，求剩下的量時，就用減法；減法既可以表示整體與部分的關(guān)系，也可以反映兩種量的大小關(guān)系。這么“高深”的理論能給一年級的學(xué)生講嗎？即使講了，學(xué)生又能聽懂嗎？如果只是讓學(xué)生完成書上的例題，從表面上知道減號的名稱而沒有體會到減法算式的高度概括性，不知道什么時候應(yīng)該使用減法，沒有在心里建構(gòu)起減法的模型，又如何能讓學(xué)生“觸摸”到數(shù)學(xué)的本質(zhì)呢？

學(xué)生獲得概念的三種基本形式是概念的形成、概念的同化和概念的順應(yīng)。[2]其中的概念形成是一種發(fā)展過程，是在對事物感知、分析、比較、抽象的基礎(chǔ)上，概括一類事物的本質(zhì)屬性的過程。教材上的例題提供了兩幅連續(xù)的場景圖，通過學(xué)生說出場景圖所表示的意思，理解“從5人中去掉2人，還剩3人”，揭示出減法算式及其減號的名稱。應(yīng)該說，這時學(xué)生對減法的含義只是直觀的感知，對減法算式只是初步的認(rèn)識，教師雖然直接“告訴”學(xué)生什么是減法，但是他們并沒有在心里面完全認(rèn)可。為了進一步深化學(xué)生對減法的理解，透徹地把握減法的內(nèi)涵，教師沒有在例題教學(xué)結(jié)束后就立即轉(zhuǎn)入練習(xí)鞏固，而是對例題“添枝加葉”，繼續(xù)“延伸”著例題的教學(xué)，設(shè)計了一個“創(chuàng)造減法”的情境，引領(lǐng)學(xué)生從大量的具體例子出發(fā)，借助感性經(jīng)驗和已經(jīng)了解的事實，對這些直觀呈現(xiàn)的例證材料進行分析比較，初步形成減法這個概念的表象，進而以歸納概括的方式抽象出事物的本質(zhì)屬性，這時候的學(xué)生不會再僅僅認(rèn)為例題中的“5個小朋友澆花，走了2個，還剩下幾個”的問題可以用“5-2=3”來解決，他們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)許許多多這種類型的題目都可以用“5-2=3”來解決。

讓學(xué)生反復(fù)列舉減法的例證，并引導(dǎo)學(xué)生對這些減法實例進行思考，在不同之中找相同，經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象、從分散到概括的過程，從而發(fā)現(xiàn)同樣是一道算式卻可以解決許多問題，進而實實在在地經(jīng)歷了“建模”的過程，體會到了概念的高度概括性。

二、 在比較中，顯現(xiàn)概念的核心性

【片斷】

師：觀察表中數(shù)據(jù)，年薪6萬能不能反映出所有員工年薪的整體水平？

生1：不能。科員的年薪只是2萬，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于平均數(shù)6萬。

生2：不能。因為絕大多數(shù)員工的年薪低于6萬。

師：如果用表中的一個數(shù)據(jù)反映員工年薪的整體水平，哪個數(shù)據(jù)比較合適？

生1：4。因為比它大的有三個數(shù)，比它小的也有三個。

生2：我也覺得“4”比較合適，因為除了董事長以外，多數(shù)人的年薪水平距離4萬元都不是太遠(yuǎn)。

師：觀察這組數(shù)據(jù)，猜想一下：在平均數(shù)和中位數(shù)兩個統(tǒng)計量中，用哪個統(tǒng)計量表示這一組女生的跳繩水平更合適？

【分析】

在描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量中，中位數(shù)和平均數(shù)是兩個核心概念，二者都可以作為一組數(shù)據(jù)的代表來反映數(shù)據(jù)的一般水平；如果有“極端數(shù)據(jù)”出現(xiàn)，用中位數(shù)來描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢就比用平均數(shù)更加合適。如何才能引領(lǐng)學(xué)生把握住中位數(shù)所“獨有”的核心內(nèi)涵呢？費德恩等人認(rèn)為，核心概念是一種教師希望學(xué)生理解并能在忘記其非本質(zhì)信息或周邊信息之后，仍然能應(yīng)用的概念性知識，并且他們認(rèn)為核心概念必須清楚地呈現(xiàn)給學(xué)生。[3]

這就要求教師在教學(xué)時，不能停留在學(xué)生會背誦中位數(shù)的定義和會求出一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)這一層面，而是要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，感受數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的魅力，深入體會中位數(shù)的統(tǒng)計意義。因此，教者設(shè)計了三次比較學(xué)習(xí)活動：第一次是用求出的平均數(shù)和7個數(shù)據(jù)進行比較。教師提出：“年薪6萬能不能反映出所有員工年薪的整體水平？”學(xué)生就會把平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)進行對比，從而發(fā)現(xiàn)由于極端數(shù)據(jù)“20”的影響，致使平均數(shù)高于大多數(shù)數(shù)據(jù)。這樣，學(xué)生在反思平均數(shù)的同時，自然會尋求一種新的統(tǒng)計量來衡量員工工資的整體水平，學(xué)生探索新知識的意識被調(diào)動了起來。第二次是同一組數(shù)據(jù)的比較。教師又一次創(chuàng)設(shè)了問題情境：“你打算利用表中哪個數(shù)據(jù)來反映員工的工資整體水平？”這一問，引而不發(fā)，含而不露，不僅為學(xué)生指明了探究方向，而且將學(xué)生思維的觸角引向縱深發(fā)展。學(xué)生“知其然”，更需思考“所以然”，在問題引領(lǐng)下，學(xué)生對眼前的這組數(shù)據(jù)進行觀察、思考、比較、鑒別。學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上，合作交流，在思考中加深體驗，在碰撞中提升智慧，最終找到了一個合適的數(shù)據(jù)“4”，至此“中位數(shù)”呼之欲出。第三次是兩個統(tǒng)計量在一起比較。教師提出猜想：“在平均數(shù)和中位數(shù)中，用哪個統(tǒng)計量表示這一組女生的跳繩水平更合適？”學(xué)生就會利用剛才學(xué)習(xí)的知識求出中位數(shù)和平均數(shù)，然后反思：為什么用中位數(shù)表示跳繩水平比用平均數(shù)表示更合適？什么時候用平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的整體水平，什么時候又用中位數(shù)來表示呢？在“提出猜想→驗證猜想→形成結(jié)論”的探究過程中，完成了思維的內(nèi)化和概括。通過三次比較活動，引領(lǐng)學(xué)生對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)，在對比中排除了概念的非本質(zhì)屬性，在對比中展現(xiàn)了兩個統(tǒng)計量各自的特點，在對比中學(xué)生進一步感受到屬于中位數(shù)獨有的特征，從而進一步凸顯了中位數(shù)的核心性。

三、 在操作中，接納概念的抽象性

【片斷】

教師以1分米為邊長畫一個正方形，然后告訴學(xué)生，這個正方形的面積是l平方分米。接著教師用剪刀剪下這個l平方分米的正方形紙，貼在黑板上。

學(xué)生操作：剪出一個l平方分米的正方形，用手摸一摸，閉上眼睛想一想1平方分米的樣子及大小。

學(xué)生操作：動手剪出l平方厘米的正方形后，相互交流是怎樣剪的。然后讓學(xué)生用手摸一摸，閉上眼睛想一想l平方厘米的樣子及大小。

把1平方分米的正方形紙和l平方厘米的正方形紙放在桌面上，看一看、比一比，閉上眼睛想一想它們的樣子及大小。

師：四個同學(xué)合作，請分別拼出面積為4平方分米和6平方厘米的圖形。

【分析】

因為學(xué)生在日常生活中很少用到面積單位，沒有一定的感性經(jīng)驗和生活常識做基礎(chǔ)。所以，學(xué)生不容易從數(shù)學(xué)實質(zhì)上把握1平方分米和1平方厘米的大小。1個面積單位到底有多大？能“比劃”出來嗎？能把具體的、形象的1平方分米和1平方厘米抽象出來嗎？

操作是一種思維內(nèi)化的過程，是“非語言行為”逐步概括化、變成在頭腦中的活動的過程，也就是邏輯推理的過程。[4]因此，操作是實現(xiàn)從形象到抽象跨越的重要舉措。首先，1平方分米的認(rèn)識是由教師先示范畫出并剪下1平方分米的正方形紙，然后是學(xué)生剪出一個l平方分米的正方形，用手摸一摸，閉上眼睛想一想1平方分米的樣子及大小。而1平方厘米的認(rèn)識完全交給了學(xué)生，讓學(xué)生通過看一看、摸一摸、剪一剪及說一說、想一想等活動，形成了正遷移，完成了對面積單位進行意義建構(gòu)的過程。這時的學(xué)生不僅眼中有具體形象的1個面積單位的正方形紙片，頭腦中有1個面積單位的表象，而且手、腦、眼等多種感官同時參與，協(xié)同活動，對所建立的表象反復(fù)醞釀、修復(fù)，最終達到去掉面積單位這個概念的非本質(zhì)屬性，完全抽象出面積單位的境界。為了進一步鞏固所建立的面積單位的表象，教師又安排了拼圖形活動，把概念具體化，這樣從具體到抽象又回到具體，符合小學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，使學(xué)生更準(zhǔn)確地把握概念的內(nèi)涵和外延。在看、剪、摸、比、想、拼等操作活動中，逐步剔除概念的非本質(zhì)屬性，實現(xiàn)了形象→表象→抽象的遞進，在不知不覺中接納了概念的抽象性。

四、 在同化中，展露概念的系統(tǒng)性

【片斷】

師：12的因數(shù)有哪些？18的因數(shù)又有哪些？

學(xué)生回答。

師：1是12的因數(shù)，也是18的因數(shù)，我們就說1是12和18 的公因數(shù)。

學(xué)生重復(fù)。

師：你認(rèn)為12和18的公因數(shù)還有哪些？為什么？

生1：2和3都是12和18的公因數(shù)，因為他們既是12的因數(shù)，也是18的因數(shù)。

生2：我認(rèn)為6也是12和18的公因數(shù)。因為12的因數(shù)里有6，18的因數(shù)里面也有6。

師：12和18的最大公因數(shù)是多少？

生：是6。

師：討論一下，因數(shù)、公因數(shù)、最大公因數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別分別是什么？

【分析】

概念同化以學(xué)生的間接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)語言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念。[5]因此，在引領(lǐng)學(xué)生通過同化來形成概念的時候，要關(guān)注學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，創(chuàng)造機會讓學(xué)生比較新概念和基礎(chǔ)概念的區(qū)別與聯(lián)系，從概念外延的角度對新舊概念進行比較，了解兩個概念的邏輯關(guān)系，經(jīng)歷完整的概括過程，從而把新概念納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中。

因數(shù)的概念是公因數(shù)概念的基礎(chǔ)，而公因數(shù)概念又是最大公因數(shù)概念建構(gòu)的關(guān)鍵，這三個概念就構(gòu)成了一個局域網(wǎng)。所以，教師在教學(xué)的時候分為這樣幾個層次：一是從因數(shù)概念的復(fù)習(xí)開始，激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和求因數(shù)的活動經(jīng)驗，把因數(shù)的相關(guān)知識作為本節(jié)課的鋪墊；二是直接揭示公因數(shù)的概念并讓學(xué)生自主探究出12和18 其他的公因數(shù)，使學(xué)生獲得具體例證的支持，把公因數(shù)概念融進原有的知識結(jié)構(gòu)之中；三是概念的分類，讓學(xué)生比較因數(shù)、公因數(shù)、最大公因數(shù)這三個概念，既讓學(xué)生找出三個概念的相同點及內(nèi)在的聯(lián)系，把三個概念聯(lián)系起來，同時又讓學(xué)生找到三個概念的不同之處，把三個概念區(qū)別開來。這樣，在概念網(wǎng)絡(luò)中感悟最大公因數(shù)這個概念的內(nèi)涵和外延，進一步深化對最大公因數(shù)概念的理解。

五、 在變式中，理解概念的層次性

【片斷】

教師為每個學(xué)習(xí)小組提供了一段繩子、一個蘋果、一張圓形紙及小刀。

師：請你們分別表示出它們的■。

學(xué)生操作后逐一展示他們探究的成果。

師：例題中是一塊蛋糕，現(xiàn)在是繩子、蘋果和紙片，他們都是不同的物體，為什么所表示的都是各自的■？

學(xué)生討論后回答，教師相機進行補充。

教師又讓學(xué)生拿出一張長方形紙，先折一折，然后把它的■涂上顏色。

師：他們的折法不一樣，為什么都是這張長方形紙的 ■？

教師出示題目后問：哪些圖形的涂色部分可以用■ 表示，哪些不能？

【分析】

這是學(xué)生第一次接觸到分?jǐn)?shù)，由于分?jǐn)?shù)不同于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的整數(shù)，不具備“可數(shù)性”，同時分?jǐn)?shù)概念具有過程——對象的雙重性，既是邏輯分析的對象，又是具有現(xiàn)實背景和豐富寓意的數(shù)學(xué)過程，分?jǐn)?shù)概念的建立要經(jīng)歷“凝聚”的過程，即由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化。[6]最終實現(xiàn)二者在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的共存，所以學(xué)生接受起來的難度還是很大的。

為了讓學(xué)生切實理解分?jǐn)?shù)，透徹把握分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，教師在例題教學(xué)后緊接著就進行了三個層次的“變式”教學(xué)。前兩個層次是改變分?jǐn)?shù)概念的非本質(zhì)屬性，先是單位“1”的變化，讓學(xué)生感受到不管是蛋糕，還是繩子、蘋果、一張紙等，只要是平均分成2份，每份就是它的■；然后是分法的改變，讓學(xué)生感受到不論是橫著折、豎著折，還是斜著折，只要平均分成2份，每一份就是這張長方形紙的■。這樣，學(xué)生就會對具體的例證進行辨別、分化，達到抽象、概括，從而逐步抽象出“■”的本質(zhì)屬性。層次三是“非概念變式”，它改變了“■”的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生在正確的例證和不準(zhǔn)確的例證（反例）的區(qū)分中，思考■產(chǎn)生的基礎(chǔ)及過程，提升學(xué)生的思辨能力，豐富學(xué)生對■的認(rèn)識。

變式就是從不同角度組織感性材料，變換事物非本質(zhì)特征，在各種表現(xiàn)形式中突出事物的本質(zhì)特征，從而使學(xué)生對概念的理解達到越來越高的概括化程度。[7]教師根據(jù)變式教學(xué)理論所設(shè)計的三個層次，逐層遞進，既讓學(xué)生經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展、形成的過程，又讓學(xué)生在逐漸進階的變式中剝離出概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，對分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識逐層上升：由模糊到清晰、由感性到理性、由形象到抽象、由具體到深刻，經(jīng)歷了從動作思維到形象思維再到抽象思維的飛躍，切實體驗到了理性思維的深刻和完美，實現(xiàn)了從“■”的現(xiàn)實原型到“■”的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，充分理解了概念形成的層次性。

參考文獻

[1] [2]何小亞.數(shù)學(xué)學(xué)與教的心理學(xué)[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2003.

[3] 普萊斯頓·D·費德恩.教學(xué)方法——應(yīng)用認(rèn)知科學(xué)、促進學(xué)生學(xué)習(xí).王錦等譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2006.

[4] 沈建國，馮金順.小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)論.鄭州：鄭州大學(xué)出版社，2008.

[5] 鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程.上海：上海教育出版，2009.

[6] 鄭毓信.數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué).南京：江蘇教育出版社，2008.

[7] 張興華.重提數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué).教學(xué)大道——寫給小學(xué)數(shù)學(xué)教師.北京：高等教育出版社，2010.