《數(shù)學》第四章“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”教學建議

樊玉敏

【摘 要】“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”章節(jié)將正整數(shù)指數(shù)冪的概念與運算推廣到了實數(shù)范圍，在對冪概念進一步理解的基礎(chǔ)上，引入冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，學習其相關(guān)性質(zhì)與應(yīng)用。教師可通過探究、發(fā)現(xiàn)、感悟等形式，讓學生體會指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)廣泛的實際應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 大綱 體系 教學建議

在初中階段學生已經(jīng)掌握了正整數(shù)指數(shù)冪的定義及其運算性質(zhì)，隨著新知識學習的新要求，正整數(shù)指數(shù)冪已經(jīng)不能滿足學習的需要了。本章將正整數(shù)指數(shù)冪的概念與運算推廣到了實數(shù)范圍，在對冪概念進一步理解的基礎(chǔ)上，引入冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，學習其相關(guān)性質(zhì)與應(yīng)用。通過探究、發(fā)現(xiàn)、感悟等形式，讓學生體會指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)廣泛的實際應(yīng)用。掌握本章內(nèi)容，對學生今后的學習、實踐將會產(chǎn)生重要的影響。

一、大綱分析

數(shù)學課程任務(wù)是：使學生掌握必要的數(shù)學基礎(chǔ)知識，具備必需的相關(guān)技能與能力，為學習專業(yè)知識、掌握職業(yè)技能、繼續(xù)學習和終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。通過教學發(fā)展學生的數(shù)據(jù)處理、工具運用等技能，培養(yǎng)學生觀察、分析與解決問題等數(shù)學能力。

大綱建議指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)部分為12課時，本教材新授部分11課時，復(fù)習小結(jié)1課時。

大綱規(guī)定學習應(yīng)達到的能級要求包括4項了解（冪函數(shù)、積商冪的對數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)應(yīng)用），3項理解（有理數(shù)指數(shù)冪、指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)、對數(shù)的概念）以及2項掌握（實數(shù)指數(shù)冪及其運算法則、利用計算器求對數(shù)值）。

二、知識體系

三、教學建議

本章內(nèi)容的學習基于已掌握的函數(shù)相關(guān)概念、性質(zhì)以及冪的概念、運算等知識。教學過程中應(yīng)創(chuàng)設(shè)讓學生主動探究、合作學習的教學氛圍，注重運用類比、歸納等教學方法，將構(gòu)建“知識體系”作為學習的策略和目標，切實激發(fā)學習的興趣，提升學習的能力，達成教學目標。下面，筆者按節(jié)就設(shè)計思路、教學目標、內(nèi)容要點、教學建議（分課時）四個方面進行教材解讀，給出教學建議。

（一）§4.1實數(shù)指數(shù)冪（2課時）

設(shè)計思路：通過探究xn=a中a、n、x之間的關(guān)系，引導(dǎo)學生理解識記n次方根以及根式的概念及性質(zhì)，引出分數(shù)指數(shù)冪的概念，將冪指數(shù)由正整數(shù)推廣到有理數(shù)范圍。通過用計算器求冪的值及閱讀“讀一讀”的內(nèi)容，讓學生體驗到無理指數(shù)冪也有意義，進而將有理指數(shù)冪推廣到無理指數(shù)冪的范圍。通過探究，讓學生體會到運用整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，當冪的指數(shù)是任意實數(shù)時，盡管表達式不同，但運算結(jié)果相同，可得出“整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)在實數(shù)范圍內(nèi)適用”這一結(jié)論。

第1課時

本課的學習是在學生初中所學過的平方根概念、立方根概念、二次根式的概念、整式概念等知識的基礎(chǔ)上進行的。

1.探究：通過探究xn=a中a、n、x之間的關(guān)系，識記n次方根以及根式的概念及相關(guān)性質(zhì)，引入分數(shù)指數(shù)冪的概念，將冪的指數(shù)由正整數(shù)推廣到有理數(shù)范圍。

2.概念核心要素：當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)；當n為偶數(shù)時，正數(shù)的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù)；負數(shù)沒有偶次方根。

第2課時

本課的學習是在初中所學過的整式的基本運算性質(zhì)及上節(jié)課所學的實數(shù)指數(shù)冪等知識的基礎(chǔ)上進行的。

1.探究：教材第94頁給出了三組式，每組兩式。借助所掌握的運算性質(zhì)及計算方法，利用計算器運算出相應(yīng)的值，分析計算結(jié)果，類比所學整式的相關(guān)運算法則，大膽猜測整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)適用于實數(shù)指數(shù)冪的運算。學生舉例、討論、交流，得出結(jié)論。

2.概念的核心要素：整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)適用于實數(shù)指數(shù)冪的運算。

3.例題反思：

例3（教材第94頁）直接運用公式4.3-4.7進行計算。

例4（教材第94頁）是公式的進一步應(yīng)用。當遇到根式相乘除時，基本方法是先將根式化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再運用實數(shù)指數(shù)冪的相關(guān)運算法則進行計算。

4.問題解決：能夠得到的結(jié)論（教材第95頁）是：實數(shù)指數(shù)冪的形式能解決實際生活中的相關(guān)問題。通常可以先通過審題以獲得相關(guān)信息，再理解所求元素與所給冪形式之間的對應(yīng)關(guān)系，明確自變量與因變量，體驗用函數(shù)思想、方程思想解決實際問題的方法。

（二）§4.2冪函數(shù)（1課時）

設(shè)計思路：通過比較一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)這三個基本初等函數(shù)的解析式中常量與變量的特點，發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)的特點，得出冪函數(shù)的定義；通過觀察具體給出的冪函數(shù)的圖像，嘗試寫出冪函數(shù)的定義域，感受冪函數(shù)的定義域不是確定的這一特點，體驗數(shù)形結(jié)合的思想。

本節(jié)的學習是在學生掌握了函數(shù)相關(guān)概念、表示方法、性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行的。

1.探究：教材第96頁通過比較一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)這三個基本初等函數(shù)的解析式中常量與變量的特點，發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)的特點，得出冪函數(shù)的定義。定義主要從其解析式的形式、指數(shù)的取值范圍兩個方面考慮；冪函數(shù)的定義域應(yīng)根據(jù)具體情況而定。

2.概念的核心要素：符合冪函數(shù)定義形式的函數(shù)是冪函數(shù)，否則不是；冪函數(shù)沒有統(tǒng)一的定義域。

3.例題反思：

例1（教材第96頁）是根據(jù)冪函數(shù)的定義，判別所給函數(shù)是否是冪函數(shù)的題型。解題的關(guān)鍵在于函數(shù)關(guān)系式的“形式”是否與定義相一致。

例2（教材第96～97頁）通過觀察具體冪函數(shù)的圖像，嘗試寫出冪函數(shù)的定義域，發(fā)現(xiàn)“冪函數(shù)沒有統(tǒng)一的定義域”這一特點，體驗數(shù)形結(jié)合的思想。在思考冪函數(shù)的定義域時，也可以從函數(shù)解析式本身有意義的角度思考自變量的取值范圍。

4.思考交流：

能夠得到的結(jié)論（教材第97頁）是：冪函數(shù)的定義域根據(jù)具體情況而定；在具體問題情境中，利用冪函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式解題關(guān)鍵在于，將解析式中各部分的對應(yīng)關(guān)系搞清楚。

（三）§4.3指數(shù)函數(shù)（2課時）

設(shè)計思路：通過情境、語言、圖表和數(shù)學符號等多種方式讓同學體驗到數(shù)學模型在數(shù)學學習中的意義，通過探究、分析、類比、歸納等數(shù)學方法的應(yīng)用，引出指數(shù)函數(shù)的定義、定義域，了解指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的區(qū)別。通過實踐，讓學生進一步掌握“作圖”的技能，通過對圖像的比較、觀察、歸納，得出所給出的具體指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。通過觀察不同類型多個指數(shù)函數(shù)的圖像，結(jié)合對具體指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的表述，得到指數(shù)函數(shù)當a>0與a<0時的性質(zhì)，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學思想。

第1課時

本節(jié)的學習是在理解了函數(shù)概念及性質(zhì)、冪函數(shù)概念的基礎(chǔ)上進行的。熟悉用描點法作函數(shù)圖像，能根據(jù)所給函數(shù)的圖像描述函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等）。

1.探究：教材第98～99頁通過實例讓學生發(fā)現(xiàn)一組數(shù)的規(guī)律，寫出這個變化過程中兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系式。得到指數(shù)函數(shù)的定義。同學們舉出指數(shù)函數(shù)的實例，討論交流。

2.概念核心要素：符合指數(shù)函數(shù)定義形式的函數(shù)是冪函數(shù)，否則不是；指數(shù)函數(shù)的定義域是R。

3.例題反思：

例1（教材第99頁）在同一坐標系中用描點法作指數(shù)函數(shù)的圖像是初中已經(jīng)掌握的知識與技能。需要注意的是列表的關(guān)鍵在于準確、適量選取自變量的值，取值遵循“能簡則簡”的原則。

4.問題解決：

能夠得到的結(jié)論（教材第100頁）是：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像描述指數(shù)函數(shù)性質(zhì)主要從以下幾個方面來表述：定義域、值域、圖像所過的特殊點、圖像位置、單調(diào)性等等。這與前面函數(shù)部分所學的函數(shù)性質(zhì)知識體系是一致的。

第2課時

本節(jié)的學習是在了解指數(shù)函數(shù)的概念，能表述兩類指數(shù)函數(shù)（a>1，0

1.探究：教材第100頁通過實例讓學生觀察所給指數(shù)函數(shù)的圖像，通過分析圖像中的信息，描述它們的性質(zhì)并總結(jié)得出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

2.概念核心要素：底數(shù)a>1的指數(shù)函數(shù)性質(zhì)相同；底數(shù)0

3.例題反思：

例2（教材第102頁）是根據(jù)給定的條件，求函數(shù)關(guān)系式的問題。用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式。

例3（教材第102頁）是比較數(shù)的大小問題。通過比較所給數(shù)的形式發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)都是冪的形式，它們同底數(shù)不同指數(shù)，是同底的指數(shù)函數(shù)的不同值。利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較其大小。

如果遇到與數(shù)1進行比較時，由a0=1（a≠0）可得，數(shù)1可以化為與所比數(shù)同底的0次冪，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行大小比較。

4.問題解決：

能夠得到的結(jié)論（教材第102頁）是：指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）與指數(shù)型函數(shù)y=Aax（A是常數(shù)，a>0且a≠1）雖然是不同的函數(shù)，但前者的相關(guān)性質(zhì)后者也相應(yīng)具備。

（四）§4.4對數(shù)的概念（1課時）

設(shè)計思路：通過實例引導(dǎo)學生再次思考ab=N（a>0，a≠1）一式中如何用底數(shù)a、冪值N來表示指數(shù)b，引出對數(shù)的相關(guān)定義。通過比較對數(shù)式與指數(shù)式，讓學生發(fā)現(xiàn)兩種形式之間的內(nèi)在關(guān)系，并能將指數(shù)式、對數(shù)式進行互化并通過對數(shù)概念在自然科學中應(yīng)用的實例，讓學生體會對數(shù)的重要性。

本節(jié)的學習基于學生對式ab=N（a>0，a≠1）形式的了解。該式中底數(shù)a、冪值N可以表示指數(shù)b。熟悉冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)有助于更好地學習本節(jié)內(nèi)容。

1.探究：教材第104頁引發(fā)學生思考：式ab=N（a>0，a≠1）中如何用a、N來表示b？例如對于三個數(shù)2，3，8，用2和3可以表示8，即23=8，用3，8可以表示2，即■=2，如何用2，8來表示3呢？

2.概念的核心要素：對數(shù)是個形式概念，它解決了式ab=N（a>0，a≠1）中，用底數(shù)a、冪值N來表示指數(shù)b的問題。需要注意的是，真數(shù)N大于零，底數(shù)a>0且a≠1。

3.例題反思：

例1、例2（教材第105頁）是將對數(shù)式與指數(shù)式互化的問題，關(guān)鍵在于理解定義。

4.問題解決：

能夠得到的結(jié)論（教材第105頁）是：通過對數(shù)概念的學習，可以解決式中ab=N（a>0，a≠1），用底數(shù)a、冪值N來表示指數(shù)b的問題。b=logaN（a>0，a≠1）。

（五）§4.5對數(shù)的運算（1課時）

設(shè)計思路：通過探究活動讓學生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)對數(shù)的運算性質(zhì)；通過積的對數(shù)的運算性質(zhì)證明，體會運算性質(zhì)的推導(dǎo)依據(jù)，感覺數(shù)學邏輯思維之美。

本節(jié)的學習基于學生知道了什么是對數(shù)，怎樣將對數(shù)式與指數(shù)式進行互化，能求簡單對數(shù)的值。熟悉實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對積、商、冪的對數(shù)運算性質(zhì)的推導(dǎo)十分有用。

1.探究：教材第106～107頁通過表4-8給出了三組式，利用上節(jié)課所學求對數(shù)值的方法分別求出相應(yīng)的對數(shù)，分別比較其底數(shù)、真數(shù)、計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，獲得數(shù)學猜想，在教師的指導(dǎo)下，推理論證得出結(jié)論并理解提升。

2.概念的核心要素：對數(shù)的積、商、冪的運算性質(zhì)成立的前提條件是對數(shù)式本身有意義，在此基礎(chǔ)上，相關(guān)運算性質(zhì)均適用。

3.例題反思：

例題（教材第107頁）為直接運用對數(shù)的積、商、冪的運算性質(zhì)進行計算的題型。解題中應(yīng)當注意公式運用的準確性及對“數(shù)感”的培養(yǎng)。

4.思考交流：能夠得到的結(jié)論（教材第108頁）是：當a>0，且a≠1時，logaab=b。

（六）§4.6對數(shù)函數(shù)（2課時）

設(shè)計思路：通過對對數(shù)函數(shù)作圖的實踐，感受圖像的變化趨勢，發(fā)現(xiàn)圖像的特點，經(jīng)歷類比、歸納、交流等學習過程，總結(jié)得出規(guī)律。

本節(jié)的學習是在理解對數(shù)及其運算性質(zhì)以及對指數(shù)函數(shù)概念、性質(zhì)等知識有一定建構(gòu)的基礎(chǔ)上進行的。熟悉對數(shù)的概念、指數(shù)函數(shù)的定義及性質(zhì)，明確對數(shù)與指數(shù)兩個概念的區(qū)別與聯(lián)系有助于學好本節(jié)內(nèi)容。

2.概念的核心要素：與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)類似，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)描述的著眼點與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)描述相同。

3.思考交流：能夠得到的結(jié)論（教材第111頁）是：與指數(shù)函數(shù)類似，根據(jù)底數(shù)a的取值范圍，對數(shù)函數(shù)也可以分為a>1、0

不難發(fā)現(xiàn)：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的表述、分類與指數(shù)函數(shù)相同，可以將二者類比掌握。

4.例題反思：

例1主要通過對給定對數(shù)函數(shù)圖像的觀察，結(jié)合所學，類比指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的學習，敘述對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。一般從其定義域、值域、圖像位置（過特殊點）、單調(diào)性等幾個方面進行敘述。

例2（教材第112頁）通過給定函數(shù)圖像上的點的坐標，類比教材第102頁求指數(shù)函數(shù)關(guān)系式的方法求對數(shù)函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)關(guān)系式，求具體的對數(shù)值。一般采用待定系數(shù)法，用代入的方法求出對數(shù)函數(shù)的關(guān)系式。

（七）§4.7利用計算器求對數(shù)值（1課時）

設(shè)計思路：通過例題的實踐讓學生掌握求任意底的對數(shù)值的一般步驟方法。知道即使不用換底公式也能求一般底的對數(shù)值。

本課的學習基于學生已經(jīng)掌握了對數(shù)的概念、性質(zhì)，熟悉整式的運算法則，對所使用的計算器的基本功能有一定了解。

1.例題反思：

2.能夠得到的結(jié)論：

在解指數(shù)方程的時候，可以先將指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用求對數(shù)值的相關(guān)辦法求得方程的解。轉(zhuǎn)化思想是解題中常用的方法之一。

（八）§4.8指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用（1課時）

設(shè)計思路：通過體驗運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)知識解決簡單現(xiàn)實問題的過程，感受從函數(shù)角度觀察思考生活情境和自然現(xiàn)象，嘗試用數(shù)學眼光解釋生活中的某些現(xiàn)象，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學解決問題的能力。

本課是在學習了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)及其運算、對數(shù)函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)上進行的。熟悉冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的相關(guān)概念及性質(zhì)、了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系、能將對數(shù)式與指數(shù)式進行熟練互化等，有助于解實際背景下相關(guān)函數(shù)應(yīng)用類型題目。

1.例題反思：

例1（教材第117頁）給出了指數(shù)型函數(shù)的實際背景。指數(shù)型函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)，但其性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)類似。求解時需要將指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用計算器求得最后結(jié)果。

例2（教材第117～118頁）遇到給出了對數(shù)型函數(shù)的實際背景的問題時，可以通過式的變型轉(zhuǎn)化為熟悉的類型求解。

2.能夠得到的結(jié)論：

審清題意，再將實際背景下的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型是解題的關(guān)鍵。

（作者單位：江蘇省南京市第五十四中學）