基于非線性相關地震波場插值

孫江兵 李棟 王小磊 郭蕾

在地震數據處理中，除因數據缺失而直接丟失一部分信息外，還可能導致在后續處理流程中產生噪聲，使得地震道中出現形態各異的脈沖。這樣，基于多道處理算法的處理過程將受到缺失道的影響，其中受影響最嚴重的包括波動方程偏移，基于波動方程的抑制表面多次波的方法，與地表有關的多次波的消除和譜估計等處理過程。

道內插是地震資料常規處理中不可缺少的步驟，其目的是在偏移之前加密空間方向（特別是三維橫線方向）的采樣，防止因采樣過疏、在偏移過程中產生空間假頻，從而提高小構造的成像精度。

非線性相關技術

把非線性相關技術用于地震道插值以填充地震勘探中的空白段，取代噪聲道，產生均勻間隔的排列。首先進行初始對正（對疊前資料進行NMO校正，對疊后資料則人工插入相關線），然后把相鄰地震道的相應特征一一相應對正，并確定出地震道之間的旅行時差。用這些資料構成的合成道（內插道）無論相關道之間的距離有多大，都可保持單個反射面的傾角和振幅的連續變化。

按照Martinson等人（1982）的設想，假設兩個待相關的地震道和（=接收點，t=時間），它們的波形相似，但其中的一個地震道相對于另一個地震道經歷了時間軸的拉伸或壓縮。這種拉伸或壓縮的“畸變”可由未知形狀的映射函數來描述，它使一個地震道的時間的特征與另一個地震道的時間的對應特征相聯系。

Martinson等人（1982）把映射函數參數化為一條線性趨勢線，此線是用含有未知系數的截斷傅里葉正弦級數改形而得到的。此法試圖尋找產生映射函數的系數值，該映射函數的型式能使描述兩個地震道之間相似程度的相關系數（或相干系數）C最大。這樣，相關系數C值視映射函數系數值而定。映射函數使地震道之間相關最好時C達到它的最大值，梯度向量中的所有為零。

用線性反演法以迭代方式求取系數使相關性最好。給系數使一個小的增量，則C也獲得一個增量，所以△C=▽C·△a。這對值就有了一個約束。然后要求△a必須處在使增加最快的方向上，即▽C必須平行于△a，或△a= ▽C，這樣其他約束條件也可實現了，這些約束便于求出△a。

非線性相關技術道間插值模式

特殊情況下，如果是兩個相鄰相關道的映射函數，對于地震波場u（x，t）中的接收點和，有

這里在最小平方意義上使得誤差函數 （x，t）極小。

由任何兩個采樣道之間所確定的u（x，t）的內插由下式得出

為采樣道間距。

時間由穩定方程得出

式中表示給定地震同相軸的采樣道之間的相移。

其中，相關系數C是用來定量描述兩個波形的相似程度的。假設有兩個波，取某個適當的數a，使得波和相接近，用誤差能量來定量衡量相接近的程度

因為和的能量和往往是確定的，所以的大小就由確定。被稱為和的相關系數，這樣便可得相關系數C。

在討論兩個波形相似性時，常常還要分析兩個波形相對時移后的相似性，即計算與的相關系數（相對于時移為）

當變化時，就是的函數，是相對于的延遲時間，即時移。

實際資料結果

模型抽出一道地震道（該道位于斷層上盤）的插值前、待插值以及插值后。對比分析可以看出經過非線性相關技術對實際斷層構造模型進行道間插值，輸出的結果同插值前相比較，地震道波形自然，地震剖面基本一致，能與原始剖面較好的吻合。