也談學生估算能力的培養

平國強

估算是一種不同于口算和筆算的運算形式，它是以口算和筆算為基礎和支持，對計算結果作出一種粗略的、一定數量級精度上的估計與判斷，是小學數學計算學習的重要內容。估算能力更是小學數學能力的重要方面，這種能力對學生的可持續發展具有重要的意義，可以說，在日常生活和工作中，估算應用的頻繁性和廣泛性，甚至超過了精確計算。

估算不僅僅是知識與方法，從本質上說，估算是一種能力。因為估算雖然有一些基本的思路與方法，如盡量取整、利用口算等，但是，這些都是最基本和原則性的方法。在實際的估算過程中，估算方法非常靈活，常取決于情境與問題的需要，這是“估算”與執行規定的法則和程序進行計算的“筆算”的最大區別，可以說“估算有法，但無定法”。因此，我們認為估算能力由以下幾個方面構成：1.強烈的估算意識。這是估算能力不斷提高的觀念基礎和內在動力，它是學生在不斷經歷各種估算的情境、解決各種估算問題的過程中逐步形成的。2.良好的數感。數感是估算能力的內核，它是學生對數據特征、相互關系、數據意義與大小等方面的敏感度和對估算方法選擇、估算結果的原則判斷等方面的能力。3.扎實的計算技能。這是估算能力的技術基礎，主要是指有較高的口算、筆算的熟練程度與正確率。4.豐富的經驗積累與策略的運用。這是估算能力的訓練重點，需要通過各種真實情境和結構性材料的提供，讓學生積累解決估算問題的有效經驗，促進思維的靈活性與變通性。所以，培養學生估算能力，應該從以下幾個方面著手。

一、要讓學生擁有良好的估算意識

學生的估算意識是在長期的估算經歷和估算問題解決中培養起來的，因此估算意識培養最重要的是不斷創造機會，提供有效的估算材料、真實情境和豐富問題。首先，要結合數學教學的各個內容滲透估算。在口算、筆算、圖形計算和解決問題等內容的教學中，教師都應該創造一切機會引導學生在“算前”和“算后”分別用估算估計結果和對結果的正確性作初步的判斷，樹立“估算無處不在”的觀念。其次，教師本身在教學中要有估算訓練的意識，要善于發現和利用一切材料向學生提出估算的問題。一方面要挖掘教材中的估算因素為教學所用，例如圖1是四年級上冊“三位數乘兩位數”（筆算）中的一道習題，按教材的編寫，題目明確地告訴學生這三道題計算都是錯誤的，學生只需根據法則再算一遍即可，但如果教師在教學中將題目的要求改成“題目中的計算有否錯誤？如果有，說出錯誤的原因并改正”的話，學生就首先要進行結果是否正確的判斷，而在這個判斷過程中，估算就是一個重要的策略。如“134×16→134×10=1340；152×23→150×20=3000；246×34→240×30+240×4=7200+960”，很快就能作出計算都有錯誤的有效判斷。這樣，既挖掘了教材的估算因素，又體現了估算對計算結果判斷的價值，創造了估算的機會，促進了能力的提高。

圖1

再如，圖2也是教材中的一道習題，教學的重點應該是在學生自己填寫估算結果并交流的基礎上引導學生討論和提煉估算的方法，讓學生明確：除數是一位數的估算應轉化為“整百數或幾百幾十數÷一位數”比較合理，除數是兩位數的估算應轉化為“整百數或幾百幾十數÷整十數”比較方便。這無疑是估算的重要經驗，但此前的例題教學并沒有類似的提煉，因此這樣的討論總結對豐富學生的經驗是非常重要的。

圖2

另一方面，教學過程中的很多環節，同樣蘊含著豐富的估算資源，教師要充分地利用，尤其是涉及計算的環節，要有一種“大計算”觀念，培養綜合性的計算能力，不要只將目光緊緊盯在精確結果上。例如，下面是一位教師教學五年級“商的近似值”中新課展開部分的簡要過程：

1.初步體會：（出示）牛奶每盒（3瓶裝）5.5元；蛋糕每盒（4塊裝）9.5元。（1）提出問題：每瓶（塊）多少元？（2）學生計算并板演；（3）討論板演題，并說說實際要付多少元；（4）板書： 5.5÷3≈1.83（元），9.5÷4≈2.38（元）。

2.深入討論：（出示）40÷14（得數保留一位小數）。（1）學生練習；（2）匯報交流（討論答案的三種情況：2.857…，2.9，2.8）；（3）交流保留的方法和答案；（4）總結：歸納商的近似值的求法。

3.明確方法：（出示）45.5÷38（得數保留整數、保留兩位小數），先說說應該除到哪一位，再計算。

4.鞏固方法：（出示）26.37÷31（得數保留一位小數）。（1）學生練習；（2）匯報交流并用計算器檢驗。

這是一節典型的計算規則教學課，實際上，此課既是計算內容，又是求商的近似值，其間毫無疑問有大量的估算資源可以利用。例如，每一次計算之前教師都可以引導學生先估一估結果，并交流一下你的估算方法和策略，從而豐富學生的估算經驗，但可惜的是教師在整個教學過程中都沒有讓學生去估，目標只關注了“取近似值的方法和結果”，顯得過于單薄，估算訓練的意識有缺。

二、要讓學生形成正確的數概念和扎實的運算技能

估算的方法是靈活多變的，經常要用到“數的拆分”“數的近似值”等知識，因此良好的數概念是估算的基礎。與筆算純粹按形式化的規則與程序進行計算相比，估算更多地依賴于數的意義、計數單位及組成等方面的知識，因此數概念的教學，同樣是為估算做準備的。同時，良好的計算基礎，是估算得以順利進行的技術保障，是必不可少的。研究一下教材就會發現，從二上年級到四上年級，教材每個學期都安排了估算的教學內容。同時，估算內容前面都編排有口算或筆算教學，顯然，這些口算或筆算是后面估算方法的基礎。筆者整理了這幾冊教材主要的口（筆）算與估算內容，見下表。

年級 口算或筆算內容 估算內容

二上 整十數加、減整十數、一位數。 100以內兩位數加、減法估算。

二下 幾百幾十加、減幾百幾十。 三位數加、減法估算。

三上 整十數、整百數乘一位數；幾百幾十加、減幾百幾十。 兩位數乘一位數估算；三位數加減兩、三位數估算。

三下 整百、幾百幾十除以一位數；整十數、兩位數乘一位數。 兩、三位數除以一位數估算；兩位數乘兩位數估算。

四上 幾百幾十數乘整十數；整百、幾百幾十除以整十數。 三位數乘兩位數估算；三位數除以整十數或幾百幾十除以兩位數估算。

顯然，掌握好以上這些口算和筆算，可以直接提高估算的能力。但同時也必須認識到兩點：一是教材編排的這些估算內容和估算方法，僅僅是最簡單和最基本的方法，良好的估算能力絕不僅僅靠這些就夠了；二是從四下年級開始，教材不再安排估算內容的教學，這并不意味著四下年級開始就可以不關注估算，恰恰相反，筆者認為，四下以前是學習估算的基本方法階段，四下開始是估算能力的提高與發展階段，是運用估算方法和策略靈活解決各種估算問題的階段，是真正體會估算的應用價值的階段。

三、要讓學生有效總結與積累估算的策略

估算作為一種能力，集中表現在估算過程中需要運用各種有效策略，可以說“幾乎不存在不用策略的估算”，有效的估算，都會或多或少用到一定的策略與方法。一般說來，常用的估算策略有：1.根據問題情境的現實背景確定估算的精度與范圍；2.靈活變通地運用相關知識和方法估算；3.將一組數據移多補少來估算均值或總值；4.根據得數的尾數來估算結果是否正確；5.將相關數據放大或縮小來估算得數的范圍；6.設置極端情況進行估算……教材中都有這些策略的相關內容或情境設計，但并未進行明確提煉。因此，教師通過提供良好的估算情境，引導學生解決問題以后進行必要的策略提煉，對豐富學生的估算經驗、提高估算能力是非常必要的，尤其是對第二學段的學生更是一種有效的提升。

例如，“學校大禮堂一共有310個座位，四年級有6個班，平均每班45人，全年級開會，座位夠嗎？”這樣的問題估算，就應該根據問題情境的實際背景將結果估大一些更好，即45×6→50×6=300<310，因而座位是夠的，這樣得出的結論就更加可靠一些。再比如，“已知×是一個三位數乘兩位數的算式，把下面四個數中有可能是它得數的數圈出來（3042，6538，10332，32512）”，這是一個非策略不能解決的估算問題。合理的思考過程是：首先，這個算式的積的尾數應該是2，故“6538”是不可能的，可以排除。其次，從結果的范圍來看，放大兩位數：×→×100<30000，即得數最大不會超過30000，故“32512”可以排除；縮小兩位數：×→207×16>3042，即得數最小也必定超過3042，故只有“10332”這個答案是可能的。在整個過程中，用到了多種估算的策略。試想，如果學生在回答“45×（+ ）的積與45相比，誰大誰小”這樣的問題時，能經歷如下的估算過程：“和都大于，>=，所以+>+=1，故積比45大”，那么學生在知識掌握的靈活性和知識應用的變通性方面就非常好了，這恰恰也是估算能力的重要方面。

事實上，《數學課程標準（2011年版）》對估算教學要重視策略提煉有明確的要求，下面就是課程標準中的一個案例：圖3中每個小正方形為1個面積單位，試估計曲線所圍圖形的面積。

圖3

《數學課程標準（2011年版）》的建議是：要幫助學生養成事先做好規劃的習慣，可以運用不同的方法估計圖形的面積，例如，方法1，可以數出圖形內包含的完整小正方形數，估計這個圖形的面積。方法2，在上面的基礎上，再加上圖形邊緣接觸到的所有小正方形數，估計這個圖形的面積。可以引導學生發現，方法1估計的比實際面積小，方法2估計的比實際面積大。實際面積應在這兩個估計值之間。在此基礎上還可以引導學生用自己的方法進行估計，學生通過記錄、計算、比較等，體會估計的意義和方法。對于學有余力的學生，可以引導他們將所有的小正方形等分成更小的正方形，探索更接近實際面積的估計值。

顯而易見，《數學課程標準（2011年版）》的案例明確地提出了估算教學不僅僅是估出結果，還應關注估算的策略積累和經驗提升，這是估算能力的內涵與估算教學的重心。

四、要讓學生在寬容的評價中積極估算

評價是估算教學中重要的方式與手段，恰當的、具有策略性的評價對學生的估算興趣和能力有著引領和促進作用。教師對學生的估算進行評價，首先要關注的是估算的方法與策略，要引導學生交流自己的估算方法，說說自己為什么這樣估算，只要是采用了合理的方法和策略的，都應該得到肯定并給予積極的評價。其次，對于估算結果的評價，應避免太過于苛刻。事實上，估算的結果是否合理，并不以它是否接近于精確答案為判斷標準，而是看它是否符合問題情境和現實背景對答案精度的要求。因此，為了能鼓勵學生大膽、真實地估算，教師對估算結果的要求應該寬容一些，只要學生估算的答案在一定的合理范圍之內，就應該得到肯定，這是估算教學評價的關鍵所在。例如，“每桶油48元，買18桶油大約需要帶多少元？”這樣一道題，筆者認為，只要學生估算的答案在800元～1000元之間，都應該是正確的。教學中對估算答案的評價，應努力避免學生為追求答案的精確而不敢大膽自主地估算的現象。下面是一道PISA估算測試題及評分標準，或許有一定的啟發。

題目：圖4是一幅南極洲地圖，請你利用圖中的比例尺（略）估計它的面積，并解釋你是如何得到的。（滿分2分）

評分標準：

得2分：1.用正方形或長方形來估計，答案在12000000與18000000（km?）之間（對單位不作要求，下同）；2.用圓來估計，答案在12000000與18000000（km?）之間；3.分成幾個規則的幾何圖形，將各個部分的面積加起來，答案在12000000與18000000（km?）之間；4.用其他方法，答案在12000000與18000000（km?）之間。

得1分：以上各種方法，但結果不正確或不完整。

圖4

可以看出，評分標準更關注的是學生估算的方法與策略，并列出了多種估算的策略，如果運用了這些方法和策略，即使結果不正確或不完整，也能得到一半的分數，而標準對估算結果只提出了一個寬泛的范圍，這個范圍的允許誤差達到了50%，這應該可以給教學以有效的借鑒。

綜合以上的論述，筆者想以圖5的模型揭示估算能力的構成及其培養策略：

圖5

以上的模型表達了這樣的觀點：估算能力是一種綜合性的能力，這種能力的培養須貫穿整個小學數學學習的全過程，而教師在教學過程中的訓練意識與問題設計至關重要。這是本文想要表達的主要想法，筆者愿用以上的觀點與讀者探討。

（浙江省杭州市普通教育研究室 310003）