以活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為根，生發(fā)數(shù)學(xué)思維

張敏

學(xué)校教研組進(jìn)行了“同課異構(gòu)”的教研活動(dòng)，內(nèi)容是蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的“三角形的認(rèn)識(shí)”。在認(rèn)識(shí)了三角形后，教材上有這樣一道習(xí)題：

在研課過程中，三位執(zhí)教老師對(duì)這道習(xí)題的教學(xué)采取了不同的處理方式，這引起了筆者對(duì)習(xí)題教學(xué)的思考。

【甲教師教學(xué)片段】

師：怎么理解題目的意思？

生：就是說三段長(zhǎng)度的總和應(yīng)該是14厘米。

生：同時(shí)這三段還要滿足三角形三條邊之間的關(guān)系：兩條短邊之和要大于最長(zhǎng)邊。

師：圖中給出了一種剪法，你們還有什么不同的剪法？

生：還可以剪成6厘米、6厘米和2厘米。

生：剪成5厘米、5厘米、4厘米。

生：剪成6厘米、4厘米、4厘米。

（師一一板書）

師：大家看看這幾種剪法符合要求嗎？

生：三段和都是14厘米，而且兩條短邊的和大于最長(zhǎng)的邊，所以都是對(duì)的。

師：你是怎么想到這幾種不同的剪法的呢？

生：我看到圖中的三條邊是6厘米、5厘米、3厘米，就想到把其中兩條邊一條增加1厘米、另一條減少1厘米，就得到了6厘米、6厘米、2厘米，再檢查一下是符合要求的。

師：這是一種巧妙的方法，把原來的三條邊調(diào)整一下，就可以得到幾種不同的剪法，但調(diào)整之后要算一算是否符合三角形三邊之間的關(guān)系。大家看看后面的兩種剪法也可以通過這樣的方法得到吧。

……

翻開教學(xué)參考書，這一道習(xí)題練習(xí)的目的是“通過不同的剪法促進(jìn)學(xué)生對(duì)三角形三條邊長(zhǎng)度關(guān)系的思考”。教師通過點(diǎn)撥性的語言，引導(dǎo)學(xué)生理解題目的意思，把學(xué)生的思考點(diǎn)集中到“三段的總和是14厘米”以及“兩條短邊之和要大于最長(zhǎng)邊”上來，并對(duì)學(xué)生“巧妙”“調(diào)整”的思考方法進(jìn)行了交流與總結(jié)，似乎達(dá)成了練習(xí)的目標(biāo)。但是聽課教師普遍感覺，學(xué)生的思維并未得到有效的激發(fā)，對(duì)于如何“剪”才能符合要求，并沒有從更全面、更根本的角度去理解與思考，這種“調(diào)整”的方法僅僅是一種“小聰明”，而不是“大智慧”，如果沒有了題目圖中的剪法，那么“調(diào)整”則無從談起。如何找到思維的“根”，從而“生發(fā)”出不同的剪法，進(jìn)而將學(xué)生的思維水平提升至“思想方法”的層面上？經(jīng)過備課組的交流與思考，第二位執(zhí)教老師改進(jìn)了教法。

【乙教師教學(xué)片段】

學(xué)生交流三種剪法后，教師引導(dǎo)討論。

師：怎樣才能很完整地把各種剪法都找出來呢？這需要我們有序地思考。

生：可以先把最長(zhǎng)邊定下來，然后再定另外兩條邊。

師：思路很好，大家看最長(zhǎng)邊可以是多少？

生：最長(zhǎng)邊要比7小，因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊如果是7厘米的話，那么另外兩條邊的和就是14-7=7（厘米）了，兩條短邊之和等于最長(zhǎng)邊是不能圍成三角形的。

師：能比7大嗎？

生：不能，因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊如果比7厘米大的話，另兩條邊的和就會(huì)比7小了，兩條短邊之和小于最長(zhǎng)邊也不能圍成三角形。

師：那么，最長(zhǎng)邊只要比7小就行了嗎？

生：也不能太小，如果最長(zhǎng)邊是4厘米的話。那么三條邊的和最多是12厘米，不符合要求了。

師：所以，最長(zhǎng)邊只有兩種情況？

生：可以是6厘米，也可以是5厘米。

師：最長(zhǎng)邊是6厘米時(shí)，另兩條邊可以是多少？

生：可以是6厘米、2厘米，也可以是5厘米、3厘米，還可以是4厘米、4厘米。

師：最長(zhǎng)邊是5厘米時(shí)呢？

生：另兩條邊只能是5厘米、4厘米。

師：通過這樣的列舉，我們就找出了所有的剪法。你有什么體會(huì)？

生：先按最長(zhǎng)邊的幾種情況分類，再在每一類中按照順序列舉出另外兩條邊的情況。

生：我覺得最長(zhǎng)邊一定要比吸管總長(zhǎng)度的一半短才行，但也不太短。

……

在上述片段中，乙教師的一句話“怎樣才能很完整地把各種剪法都找出來呢？這需要我們有序地思考”將學(xué)生的思維寬化至全面考慮各種剪法并提升至有序思考的思想層面，引導(dǎo)學(xué)生將思維的關(guān)注點(diǎn)聚焦至最長(zhǎng)邊上，在對(duì)最長(zhǎng)邊可能性的思考中達(dá)到了“對(duì)三角形三條邊的關(guān)系”的深刻理解，進(jìn)而考慮另外兩條邊的情況，完整地列舉出了所有的剪法。整個(gè)思維過程充滿了數(shù)學(xué)味，學(xué)生對(duì)于先分類、再一一列舉的有序思考方法有了充分的理解。但是，聽課時(shí)筆者發(fā)現(xiàn)，課堂氣氛較為沉悶，相當(dāng)多的學(xué)生思考的積極性并不高，處于一種被教師牽著走的狀態(tài)。原因何在？還是沒有能夠找到思維的“根”，所有的交流與思考都源于教師的一句引導(dǎo)性語言。沒有學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的真實(shí)體驗(yàn)，則如無本之木，學(xué)生的思維無法自然而然地生發(fā)開去，教學(xué)效果還是大大地打了折扣。第三位教師決定從學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引發(fā)學(xué)生思考。

【丙教師教學(xué)片段】

每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備了五根同樣長(zhǎng)的吸管和一把剪刀。

師：同學(xué)們，你能把每根吸管剪成三段，圍成一個(gè)三角形嗎？（生動(dòng)手操作，并將圍出的三角形放在桌上）

師：有沒有同學(xué)剪成三段之后，發(fā)現(xiàn)不能圍成三角形的？

生：有！

師：你們知道是什么原因嗎？

生：因?yàn)閮蓷l短邊之和小于或者等于最長(zhǎng)邊了。

師：那么有什么辦法能保證你剪出的三段能圍成三角形呢？

生：我盡量讓三段的長(zhǎng)度接近就可以了。

師：也就是說最長(zhǎng)的那一段不能太長(zhǎng)。那么最長(zhǎng)的一段的長(zhǎng)度有沒有一個(gè)范圍呢？

生：我覺得最長(zhǎng)的一段不能超過吸管的一半，因?yàn)槿绻^了吸管的一半，那么短的兩段長(zhǎng)度之和就會(huì)小于最長(zhǎng)一段了。

生：也不能等于吸管長(zhǎng)度的一半，否則兩段短的長(zhǎng)度之和與最長(zhǎng)的一段相等也是不行的，必須要小于吸管長(zhǎng)度的一半。

師：分析得非常有道理。那么是不是小于吸管的一半就可以了呢？

生：不是。最長(zhǎng)的一段也必須超過吸管的三分之一，要不然另兩條邊中至少有一條邊的長(zhǎng)度就會(huì)超過它了，它就不是最長(zhǎng)的了。

生：而且，如果最長(zhǎng)的一段不到總長(zhǎng)的三分之一，那么另兩條也不到三分之一了，那么三段的總和就不是吸管的長(zhǎng)度了。

師：很好。也就是說最長(zhǎng)的一段長(zhǎng)度應(yīng)該在什么范圍之內(nèi)？

生：吸管總長(zhǎng)的一半到三分之一之間。

師：對(duì)，在這個(gè)范圍內(nèi)的長(zhǎng)度都可以作為最長(zhǎng)的一段。先剪好最長(zhǎng)一段后，另兩段還有什么要求嗎？

生：另兩段隨便剪開都是可以的。

生：但是剩下的兩段都不能超過第一段，因?yàn)榈谝欢我呀?jīng)作為最長(zhǎng)的了。

師：大家想想看，能有多少種剪法啊？

生：無數(shù)種。

師出示改編過的習(xí)題：把一根14厘米長(zhǎng)的吸管剪成三段，用線串成一個(gè)三角形，如果要求三段的長(zhǎng)度都是整厘米，那么有幾種剪法？

（生獨(dú)立思考解答）

師：你們是怎么思考的？

生：先確定最長(zhǎng)的一段，必須小于14厘米的一半7厘米，也必須大于14厘米的三分之一，14÷3=4……2，那么就應(yīng)該大于4厘米。所以最長(zhǎng)的一段只能是6厘米或5厘米，然后再把另兩條短邊列舉出來。

師：怎么列舉呢？

生：按照順序列舉就不會(huì)漏掉了，最長(zhǎng)邊是6厘米時(shí)，另兩邊可以是6厘米、2厘米，5厘米、3厘米，4厘米、4厘米三種情況。最長(zhǎng)邊是5厘米時(shí)，另兩條邊只能是5厘米、4厘米一種情況。

師：先確定范圍，再分類，最后每一類里再有序地列舉，這樣就能找出所有符合要求的剪法。當(dāng)我們遇到一個(gè)問題有很多種可能的情況時(shí)，用這樣的分類列舉的方法是非常好的，它可以使我們不重復(fù)也不遺漏地找出所有的可能。

……

在教學(xué)中，學(xué)生首先動(dòng)手操作將吸管剪成三段圍成三角形，由于每個(gè)學(xué)生都準(zhǔn)備了五根吸管剪了五次，而且每次剪完后無法再恢復(fù)重剪，所以在此過程中積累了較為豐富的成功和失敗的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在這些鮮活的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上展開討論與思考，從總結(jié)失敗的原因到交流成功的體驗(yàn)，學(xué)生對(duì)于三角形三條邊之間的關(guān)系達(dá)到了深刻的理解，并且很自然地引入到對(duì)最長(zhǎng)邊的范圍的討論中，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)在實(shí)際操作中，由于沒有對(duì)邊長(zhǎng)整厘米數(shù)的要求，剪的方法可以是無數(shù)種的。在活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和交流思考的基礎(chǔ)上，再出示經(jīng)過改編的教材習(xí)題，這時(shí)學(xué)生的思維脫離了感性經(jīng)驗(yàn)，完全從數(shù)學(xué)思想方法的層次上去進(jìn)行考慮，從確定范圍到分類再到一一列舉，最后通過教師點(diǎn)睛式的總結(jié)性語言，將學(xué)生的思維水平進(jìn)一步提升，整個(gè)教學(xué)過程一氣呵成、自然連貫、學(xué)生興趣盎然、思維活躍。

【思考】

教科書中的習(xí)題大部分是以靜態(tài)的形式呈現(xiàn)的，以鞏固和訓(xùn)練學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能為主。教師在教授習(xí)題時(shí)，如果按部就班、照本宣科、以題講題，不但學(xué)習(xí)效果較差，還會(huì)降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。這就需要教師改變習(xí)題的靜態(tài)呈現(xiàn)方式，創(chuàng)設(shè)必要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，以數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提煉出習(xí)題背后豐富的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)涵，提高習(xí)題的附加值，從而使得習(xí)題教學(xué)實(shí)現(xiàn)由“雙基”目標(biāo)向“四基”目標(biāo)的提升。

（一）積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，生發(fā)數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的主要平臺(tái)。要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，建立自己對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直覺，感悟數(shù)學(xué)的理性精神，就應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與提升，賦予數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)“生長(zhǎng)的力量”。

甲教師和乙教師的教學(xué)實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)知識(shí)、方法往往是由學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中理解、感悟、發(fā)展的，而不只是單純依靠教師的講解、引導(dǎo)去獲得，這種講解和引導(dǎo)由于沒有在經(jīng)歷中積累、在體驗(yàn)中內(nèi)化、在反省中提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)，如同無本之木一樣毫無生機(jī)，顯得蒼白而又無力。

而在丙教師的教學(xué)中，教師先不呈現(xiàn)教材上的習(xí)題，而是先向所有學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)：將吸管剪開并圍成三角形。在經(jīng)歷“剪”和“圍”的過程中，學(xué)生積累了大量的成功和失敗的經(jīng)驗(yàn)，這些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)構(gòu)成了下面教學(xué)環(huán)節(jié)中回憶、聯(lián)想和直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，成為了進(jìn)一步思考和提升的素材，以此為根，最終可以讓學(xué)生形成全面的數(shù)學(xué)思考。

（二）反思數(shù)學(xué)思考，提煉數(shù)學(xué)思想

學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得了一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但往往是零散的、模糊的、粗淺的、浮于表面的，如果不能有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去內(nèi)省、總結(jié)，很可能這部分經(jīng)驗(yàn)就流失了。所以必須引導(dǎo)學(xué)生對(duì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思提煉，使之條理化、清晰化、系統(tǒng)化。

丙教師的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生積累了一定的經(jīng)驗(yàn)后，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生交流自己失敗的教訓(xùn)和成功的經(jīng)驗(yàn)，自然地引入到對(duì)最長(zhǎng)邊的范圍的討論中，學(xué)生在交流的過程中，不僅使得自己積累的經(jīng)驗(yàn)外顯，同時(shí)也間接地從別人那里獲得了經(jīng)驗(yàn)，并使其在碰撞中不斷改造自己的經(jīng)驗(yàn)，完善自己的經(jīng)驗(yàn)體系。在充分交流反思的基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)活動(dòng)中積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步深加工，進(jìn)一步提升，并從中抽象出含有策略性、模式性成分的思維模式、思維方法，從而將學(xué)生的思維提升至思想方法層面上。這時(shí)再呈現(xiàn)改編過的教材習(xí)題，學(xué)生的理性層面思考則變得“如同呼吸一樣自然”，四基目標(biāo)得到了充分實(shí)現(xiàn)。

（江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué) 225800）