回眸歷史看豎式

在倡導“自主學習”的今天，課堂教學給教師提出了一個挑戰，即如何看待并應對學生不同于預設的生成。以計算教學為例，教科書所呈現的過程并不能窮盡所有可能的方法，這就容易使教師誤認為教科書中的方法是唯一正確的，或者是最好的。因此，教師在教學中極易對學生富于創造性的自創算法采取抵觸甚至否定的態度。

從歷史的視角看，計算的過程與方法是多種多樣的。當今教科書中所謂的標準方法是人們長期以來約定俗成的，并且被認為是書寫最簡約、工整的方法，是無數種計算方法經過演變并篩選出來的。從認知的角度看，這些方法并非是最自然的，書寫的簡約和工整隱藏了應當有的思考過程。因此需要回眸歷史審視計算方法，一方面可以感受到多樣化的算法，另一方面可以讓隱藏在算法背后的想法顯現出來，尋找到對學生的學習最自然的方法。

一、與現在不同的豎式

在如今數學教科書中整數加法、減法和乘法的豎式計算中，通常都會提出兩個要求，第一是數位右側（個位）對齊，第二是從低位算起。歷史上的算法并非都是如此，比如對于“135×12”就有如圖1的豎式計算方法。[1]

圖1 從高位算起的乘法豎式

這個計算過程是將上面的因數“135”看作“100+30+5”，第一步是計算出100個“12”等于1200，“0”省略不寫，把“12”寫在橫線下第一行；第二步是計算30個“12”等于“360”，用同樣方法寫在第二行；第三步算出5個“12”等于“60”寫在第三行。最后計算出三個部分積的和。這個過程是從高位到低位逐步計算的，而且每一步計算結果都另起一行，避免了計算過程中的進位。

類似于此還可以把下面的因數“12”看作“10+2”，先計算10個“135”等于“1350”，再計算2個“135”等于“270”，之后把這兩個部分積相加得到1620。（見圖2）

圖2 從高位算起的乘法豎式[2]

由此看出，所謂“從低位算起”并不是唯一確定、不能違背的，從高位算起應當是更加自然的思考方式，比如日常生活中的估算通常都是從高位算起的。[3]

除法是四則運算中難度最大的一種，歷史上出現過許多現在看起來極其煩瑣的計算方法。與現在除法豎式比較接近的一種，是出現于公元980年的Gerbert方法。[4]以“900÷8”為例，現在教科書中針對于此題的豎式計算應當是如圖3的寫法。

圖3 標準除法豎式

Gerbert方法與現在標準除法豎式不同的是將除數寫為“10-2”，將商寫在被除數右側，而且并不是取最大數作為試商，而是取便于計算的數。（見圖4）

圖4 Gerbert方法示意圖[5]

上述過程的第一步選擇商為90，是為了與10相乘得到900；第二步商18是為了與10相乘湊出180，以下依次類推。這個求商的思考過程與現在教科書中的過程顯然是不一樣的。Gerbert方法經過演變，還出現過如圖5的除法豎式。

圖5 逐級寫商的除法豎式

這個過程的特點是將圖3標準算法中隱藏的位值原理顯現出來了，表面看書寫得比較煩瑣，但過程更加自然、直觀并易于理解了。

二、《御制數理精蘊》中的以乘算除

《御制數理精蘊》是清代康熙皇帝親自主持編寫的一套科學著作，其中下編卷一“歸除”章中介紹的除法計算極具特色，利用乘法豎式的寫法計算除法。比如針對問題“設如有米六十四石，令八人分之，每人得幾石”，列出的算式也就是對“64÷8”的計算，采用了如圖6的寫法。

圖6 《御制數理精蘊》中“64÷8”的計算

原書中對計算過程的描述為：“法以六十四石為實列于下，八人為法列于上，因法之八大于實之首位之六，故將法退一位書之。再看實足法幾倍，今足八倍，故書八于法上。乃以得數之八與法之八相因得六十四書于實下，與實相減恰盡，得數為八石也?！盵6]這一過程可以用現在的語言分如下幾個步驟解釋：

第一步：把被除數64寫在下面，除數8寫在上面。因為除數8大于被除數最高位6，所以要退一位寫（見圖7）。這實際上是運用乘法計算除法，相當于思考“8乘多少等于64”。

圖7 《御制數理精蘊》除法詳解示意圖之一

第二步：看被除數最多包含了除數的幾倍，可以看出最多包含8倍，所以在除數上面寫8。（見圖8）

圖8 《御制數理精蘊》除法詳解示意圖之二

第三步：將得數8與除數8相乘得64，寫在被除數64下面。（見圖9）

圖9 《御制數理精蘊》除法詳解示意圖之三

第四步：與被除數相減，恰好得0。說明得數就是8。（見圖10）

圖10 《御制數理精蘊》除法詳解示意圖之四

書中對于比較復雜的除法也采用同樣的方法計算。比如“9225÷45”的計算就是如下的豎式。（見圖11）

圖11 《御制數理精蘊》9225÷45過程示意圖

其中的“九二二五”是被除數“9225”，“四五”是除數“45”，最上面的“二○五”是商“205”。計算過程與前面基本上是一致的。把這個豎式中的除數“四五”移出來寫到左側，就與現在教科書中的除法標準豎式的寫法基本上一致了。（見圖12）

圖12 計算示意圖

初學除法最大的困難是，除法豎式與已經熟悉的乘法豎式書寫方式不一致?！队茢道砭N》中的方法提供了從乘法豎式自然過渡到除法標準豎式的思路，這樣的思路能夠使學習者在已有知識和經驗的基礎上自然而然地獲得新知識。

三、豎式的認識與教學

從歷史發展的視角看，計算方式主要有心算、工具算和筆算。心算就是不利用紙筆和其他工具進行計算；工具算指的是借助諸如算籌、算盤等工具進行計算，當然近現代的計算工具還包括電子計算機（器）；筆算就是僅借助紙、筆進行計算，數學課程中的豎式其實就是歷史上傳承下來的筆算的一種形式，寫出豎式進行計算的目的在于記錄計算過程，減輕思維的記憶負擔。

長期以來，人們對于計算追求的是“準確”與“快速”，因此在多種多樣的筆算中就逐步摒棄了冗長、煩瑣的方式，遺留下書寫形式最為簡捷并且規范的形式，供后人學習。而對于初學者，特別是低齡的兒童來說，這些簡捷并且規范的豎式往往不是最容易理解的形式。因此在數學課程與教學中適當地呈現一些表面看不簡捷、但是更為自然的豎式作為過渡，對于幫助學生理解計算過程中的原理或許會有所裨益。

1947年中華民國教育部審定，中華書局出版的《初級小學算術課本（六）》中把所有問題的計算都呈現出兩種形式的豎式。（見圖13）

圖13 民國算術課本圖

比如對于問題“兵士3隊，每隊125人，共有幾人？”[7]就分別列出如圖14的兩個豎式：

圖14 豎式對比示意圖

圖14中右側豎式不如左側豎式書寫簡捷，但把“125×3”過程中的“5×3”“20×3”和“100×3”三個環節分別呈現出來了，對于學習者來說更加自然、更加直觀、更容易理解。將二者擺放在一起對比學習，顯然有助于對左側標準豎式的理解。

綜上對于計算教學中的豎式應當形成的認識是，教科書中的豎式并不是唯一的，也不是學生最容易理解的。教學中教師應當讓學生與心算結合起來，當心算過程過于復雜、有記錄的需要時，就可以鼓勵學生用自己認為合理的方式記錄，在此基礎上通過引導與討論，逐步過渡到標準豎式的認識。

參考文獻

[1]David Eugene Smith. History of mathematics. Volume 2. Copyright， 1925， by David Eugene Smith. P108.

[2]同[1].

[3]郜舒竹.國外估算案例析[J].教學月刊，2013（3）.

[4]Louis C. Karpinski. Two Twelfth Century Algorisms. Isis， Vol. 3， No. 3 （Summer， 1921）， PP.396～413.

[5] 同[1]，P150.

[6][ 清] 御制數理精蘊： 下編卷一. 載：欽定四庫全書子部.

[7]教育部審定. 初級小學算術課本（六）[M]. 北京：中華書局， 1947年.

（首都師范大學初等教育學院 100048）