含參數(shù)不等式恒成立的問題

會(huì)求各種背景下含參數(shù)不等式恒成立的問題.

不等式恒成立問題可以與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)整合在一起，又可以涉及不等式的證明和參數(shù)取值范值問題，滲透著化歸、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想，是歷年高考命題的熱點(diǎn). 通過含參數(shù)不等式恒成立問題的求解，培養(yǎng)利用化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)和分類討論等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題的意識(shí).

1. 不等式恒成立的基本思路：

從問題的類型入手，構(gòu)造恰當(dāng)函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其指定范圍內(nèi)的最值問題，主要類型如下：

（1）不等式在f（x）<（≤）k，x∈I時(shí)恒成立？圳f（x）max<（≤）k；

（2）不等式在f（x）<（≤）k，x∈I時(shí)有解？圳f（x）min<（≤）k；

（3）不等式在f（x）>（≥）k，x∈I時(shí)恒成立？圳f（x）min>（≥）k；

（4）不等式在f（x）>（≥）k，x∈I時(shí)有解？圳f（x）max>（≥）k.

不等式恒成立與有解是有明顯區(qū)別的，以上充要條件應(yīng)細(xì)心甄別差異，恰當(dāng)使用等價(jià)轉(zhuǎn)化，切不可混淆. 對(duì)于含有等號(hào)的恒成立問題可以同上進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化.

2. 不等式恒成立與有解的基本策略：

（1）判別式法：對(duì)于定義在R上的二次函數(shù)的恒成立問題僅用一元二次方程根的判別式即可解決.

（2）分離參數(shù)法：若能將恒成立不等式中所涉及的兩個(gè)變量分離，使它們分別在不等式的一邊，則可由一個(gè)變量的取值范圍推出另一個(gè)變量所適合的不等式，進(jìn)而求得其取值范圍.

（3）單調(diào)性法：對(duì)于在所研究的區(qū)間上具有單調(diào)性的函數(shù)，通過用區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值列不等式求解.如，已知函數(shù)f（x）=（3a-1）x-6-a，x∈（0，1]，若f（x）≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（4）最值法：很多不等式恒成立與有解問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)，研究新函數(shù)的最大（小）值所適合條件的問題.