借助幾何直觀 積累問題解決經驗

朱向明

問題解決的經驗是一種重要的數學活動經驗，它主要包括發現問題和提出問題的經驗、分析問題和解決問題的經驗，這些經驗的積累與形成既離不開大量問題解決過程的體驗，也與小學生的認知規律密切相關。低年級學生以直觀形象思維為主，而“幾何直觀”可以把復雜的數學問題變得簡明、形象。下面以蘇教版二年級下冊“求比一個數多或少幾的實際問題”為例，談談在教學中怎樣借助幾何直觀幫助學生積累問題解決的經驗。

一、 借助幾何直觀表征實際問題，積累發現問題和提出問題的經驗

在問題解決的教學中，我們可以在問題表征階段，通過多種方式幫助學生積累發現問題和提出問題的經驗。

1.直觀表征封閉結構的實際問題，積累提出問題的經驗

在低年級，學生所接觸的問題多是封閉結構的實際問題，兩個條件正好能夠提出一個問題。為幫助學生積累提出問題的經驗，在本課教學中，筆者多次將封閉結構中的信息與問題分步呈現，給予學生根據信息提出問題的機會，以便于學生借助直觀表征結構相對封閉的實際問題，積累“提出問題的經驗”。

例如，課始，教師借助教材的主題情境直接出示兩排花片，直觀表征結構封閉的“求一個數比另一個數多（少）幾的實際問題”，讓學生在表述圖意的基礎上提出問題，進而通過“不計算，怎樣看出多擺的個數”來，引導學生直接關注多出的部分。這樣處理既為新知的建構激活了相關經驗，又給學生提供了根據信息提出問題的機會。

再如，鞏固練習的第一個環節，安排的是“擺一擺”的活動。其中第一次擺一擺，要求 “第一行擺紅花片，擺6個，第二行擺黃花片，黃花片比紅花片少2個”。借助直觀的實物，先動手操作擺出黃花片，再根據情況引導學生提出問題：“黃花擺了多少個？”

2.直觀表征開放結構的實際問題，積累發現問題的經驗

相對于從封閉結構的實際問題中提出問題，從開放結構的實際問題中發現問題則難度更大。在本課教學中，我主要通過增、減實際問題的信息等方式引導學生經歷“對信息解讀、建構過程中主動發現問題”，以此幫助學生積累發現問題的經驗。

例如，第二次“擺一擺”，要求“第一行擺紅花片，擺6個，第二行擺黃花片”。這里給出的條件只有一個。學生在試擺中發現，無法擺出黃花片。在此基礎上，引導學生猜猜看黃花片可能怎樣擺，把你的想法擺出來，讓大家猜一猜你是怎樣擺的。這樣的教學，通過前面信息完整的實際問題，到信息不全的實際問題，結構由封閉到開放，學生在操作中產生了強烈的反差刺激，有利于學生在對比中積累發現問題的經驗。

再如，教學“想想做做第3題”時，教師巧妙開發教材空間，讓學生主動發現 “問題無解”。教師先是隱去教材中小灰兔的話（如圖1），讓學生發現“沒法解決這個問題”，接著引導學生猜一猜“小灰兔可能怎么說”，在這個過程中，學生發現問題和提出問題的能力得到了培養。

二、 借助幾何直觀理解數量關系，積累分析問題和解決問題的經驗

數學問題解決的教學核心是理清數量間的關系。任何一道數學問題都是由數量關系和情境兩方面構成。問題的求解，在于透過對情境的理解掌握數量關系，在分析問題和解決問題的過程中借助幾何直觀，通過操作、比較、拓展等方式為低年級理解數量關系，進而構建模型提供支撐。

1.在操作中積累分析問題和解決問題的直觀表象

低年級兒童的思維特點主要以形象思維為主，動手操作是其獲取數學知識的主要途徑，但教學不能停留在操作層面，而應借助操作積累豐富的表象經驗。

解決例題“小華擺了多少個”時，可先提出不同層次的要求：“可以借助花片擺一擺，也可以不用花片，在腦中想一想怎樣擺”，接著引導學生同桌間互相說一說怎樣擺的（一人說，一人在腦中想），進一步豐富表象經驗的積累。

解決例題“小平擺了多少個”時，教師則直接提出要求：“不動手，你能把小平擺花片的情況在腦子里想出來嗎？”引導學生逐漸擺脫實物直觀，強化表象在解決問題中的作用，再次為分析和解決“求比一個數多（少）幾的實際問題”積累豐富的表象經驗。

鞏固練習的第一環節，教師仍然安排了操作活動，第一個操作是對本課新知的及時鞏固，第二個操作則再次著眼表象經驗的建立和加固，由一位學生匯報自己的操作，其余同學則想象是怎樣擺的，并列式解答。

在上述層次遞進的操作活動中，學生借助初級層次的幾何直觀（實物一一對應），逐步建立起了分析和解決“求比一個數多（少）幾的實際問題”的活動經驗和表象經驗，對“求比一個數多（少）幾的實際問題”數量關系的理解也逐漸清晰而深刻起來。

2.在比較中形成分析問題和解決問題的認知經驗

比較是一切理解和思維的基礎。在分析問題和解決問題的過程中，通過引導學生在比較中研究數學問題之間的共同點，分析它們之間的不同點，可以幫助學生逐步形成分析問題和解決問題的認知經驗，形成較為明晰的數量關系。

首先是圖形和文字的比較。運用的前提是理解。教學想想做做第1題時，教師為了防止學生在問題解決過程中“依葫蘆畫瓢”，于是先放手讓學生獨立完成，再動態給出“直條圖”（如圖2）。

在直條圖出現以后，教師及時引導學生理解圖意：“你能看著這個直條圖說一說它的意思嗎？”然后讓學生再看著直條圖復述圖意，從而認識到“直條圖把題目中的兩個條件和一個問題都表示出來了”。通過圖形與文字的對比，引導學生經歷一個由圖到文字的過程，讓學生再次從半抽象半直觀的直條圖回到原來的問題情境之中。學生借助直條圖這一幾何直觀的工具，加深了對“求比一個數多（少）幾的實際問題”數量關系的理解，分析問題和解決問題的認知經驗由文字層面進入到結構層面。

其次是圖形與圖形的比較。在初步看懂直條圖的基礎上，教師利用想想做做第2題設計了層次遞進的練習，先是將教材中的情境圖變為情境加直條圖，一方面及時加深對直條圖的認知與理解，另一方面再次體會求比較量的數量關系。緊接著，教師變換素材（如圖3）。

由澆花到拍球，情境變化了，但是數量關系不變，學生在口述圖意及解決問題的基礎上自主發現：“兩道題說的事雖然不同，但是數量關系是相同的，解決問題的方法也是相同的。”從而突出解決問題中“數量關系”的核心作用。

3.在拓展中提升分析問題和解決問題的認知經驗

在運用幾何直觀方法思考問題、解決問題的時候，觀察、想象等手段也必定相伴而行。在前面兩個層次的教學活動中，學生對直條圖的認知與運用、對數量關系的理解足以幫助學生解決本類型的實際問題。但教學并沒有止步于此，而是順勢更進一步——“只看直條圖，你能不能根據這幅圖（如圖4）再編一道這樣的問題呢？”

學生不僅要深刻理解直條圖，而且還要與生活經驗相對接。問題雖然不同，但是使用了同一幅直條圖。這樣的教學一方面突出了體會直條圖這一數學模型在解決問題中的價值，而且滲透了無限量綱的思想，更為關鍵的是，學生只有深刻理解了“求比一個數多（少）幾的實際問題”的數量關系，才能將此數學模型應用到深廣的生活背景之中。在這樣的拓展練習中，學生剛剛形成的分析問題和解決問題的認知經驗得以及時提升。

問題解決經驗的獲得不是一蹴而就的，而是要反復經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程。在實際教學中，我們可以借助幾何直觀的手段通過多種形式引導學生在多樣的數學活動中主動嘗試、體驗和探索，以此幫助學生積累問題解決的經驗，豐富和提升學生的數學素養。

（注：蘇教版小學數學出現線段圖是在三年級上冊，這里給出的是直條圖，介于文字與線段圖之間，比文字抽象，比線段圖直觀。）