追問：讓學生的數(shù)學思維走向深遠

王廣闊

蘇教版數(shù)學教材六年級下冊第六單元“四則混合計算”的整理復習后面安排了“探索與實踐”，如下圖：

通過探索學生得出了如下結論：長方形的長和寬分別增加■，長方形的面積是原來的■。教學至此，已經(jīng)完成了既定的教學任務。但是，總有一種意猶未盡的感覺，數(shù)學教學除了引領學生經(jīng)歷過程，給學生一些正確結論之外，還應該有更重要的事情可做。正如鄭毓信教授所說：“在問題解決后還要繼續(xù)前進。發(fā)展學生的思維可能是更貼切的做法。”于是，我專門安排了一節(jié)課，進行了三次追問，引領學生經(jīng)歷了如下的思維之旅：

追問一：對不對——從舉例驗證走向公式推導

通過兩個例子的計算，學生得出了上述結論之后，我沒有停留在發(fā)現(xiàn)結論的層面，而是引領學生主動地去對結論進行驗證。我追問學生：“怎樣能夠說明我們發(fā)現(xiàn)的這個結論是正確的呢？”多數(shù)小學生往往更直觀具體、更關注結果的正確與否，因此他們繼續(xù)舉出更多的例子來說明結論的可靠性。但是這樣的簡單重復，學生的思維水平依然停留在原先具象水平的層面，沒有任何提高。此時，教師有意挑戰(zhàn)學生的思維，故意“刁難”他們說：“不用舉例的方法，你們能想出別的辦法說明這個結論是正確的嗎？”一部分學生經(jīng)過思考后，開始借助面積公式去說明原因：因為長方形的面積=長×寬，長和寬都變成原來的■，所以面積變成原來的■。教師適時借助板書，引領全班同學理解第二種證明方法：因為，S1=ab；所以，S2=■a×■ b =■ ab= ■S1。從舉例驗證到借助公式推理，學生既積累了豐富的感性經(jīng)驗，又在師生、生生多邊交流的過程中，將自己的思維從具象水平提升到抽象水平，使他們從關注結果的正確性轉向了關注過程的合理性，學生對概念和公式的關注，對于思考過程的關注，是學生數(shù)學思維水平提高的顯著標志。深入學生思維深處，有意識地引領他們向上發(fā)展，才是真正以學生發(fā)展為本的數(shù)學教學。

追問二：全不全——從平面遷移走向立體拓展

學生理解了“長方形的長和寬分別增加■，長方形的面積是原來的■”之后，我繼續(xù)追問學生：“從長方形的這個結論，你們又想到了什么類似的結論？”學生的思維又體現(xiàn)出兩個不同的層次：

1.舉一反三

這里的舉一反三指的是學生的思維停留在與原有結論同一思維平面上的量的累加。比如通過交流，學生得出如下一些結論：正方形的邊長增加■，正方形的面積是原來的■；平行四邊形的底和高分別增加■，平行四邊形的面積是原來的■；三角形的底和高分別增加■，三角形的面積是原來的■；梯形的上底、下底和高分別增加■，梯形的面積是原來的■；圓形的半徑增加■，圓形的面積是原來的■。學生借助舉例和公式推導的方法，分成5組分別驗證結論的正確性后，又在進一步的歸納比較中認識到：以上圖形都是相關的兩條邊（兩組邊）的乘積。（正方形、圓和梯形有一些特殊性，但也可歸結于此。）兩條（兩組）相關的邊的長度分別變成原來的■，相乘之后面積變成原來的■。學生又一次在一個更高的層面經(jīng)歷了從例證到理證的過程，更概括、更抽象。

2.由此及彼

由此及彼指的是學生跳出原有的思維平面，實現(xiàn)更立體的拓展。我繼續(xù)追問：“通過剛才的這些結論，還能得出哪些相關的結論？”學生的思維開始向不同的領域拓展延伸：

（1）立體圖形：長方體的長、寬、高分別增加■，長方體的體積是原來的■；正方體的棱長增加■，正方體的體積是原來的■。

（2）改變分數(shù)：“長方形的長和寬分別增加■，面積變成原來的■。”

（3）由增加到減少：“長方形的長和寬減少■，面積變成原來的■。”

舉一反三是平面遷移，由此及彼是立體拓展，學生的思維由線性思考的方式向結構拓展的方式發(fā)展。這種發(fā)展，不僅僅在于學生借助一個結論的證明，引出了一系列的思考，是一個將薄書讀厚的過程；更重要的是，學生的數(shù)學活動經(jīng)驗越來越豐富，感性積累越來越厚實，思維方向越來越靈活，思維的結構越來越具有系統(tǒng)化的方式，更容易形成合理的知識結構，整體提升學生的思維水平。

追問三：跳一跳——從經(jīng)歷過程走向策略提升

先把薄書讀厚，再把厚書讀薄，數(shù)學學習也是如此，通過對一個結論的深入追問得出了一組又一組的結論，記住每一個結論是不可能的，怎樣才能更好地解決這一類問題？教師有必要引領學生跳出原來的解題過程，進行回顧反思，從中汲取有益的解決問題的策略，使學生對問題解決的認識從方法層面向策略層面提升。回顧上述過程，不同的學生有不同的經(jīng)驗。有的學生說：“舉例子算一算是很好的方法，容易理解。”有的學生說：“借助公式思考原來的結果與現(xiàn)在的結果，解決問題的速度更快。”還有的學生根據(jù)計量單位的不同將所有的結論概括為三類：周長、棱長、和；面積、表面積；體積、容積。周長、棱長、和的變化與邊長的變化相一致，面積、表面積的變化是長度變化的平方倍；體積、容積的變化是棱長變化的立方倍。由此可見，舉例子的方法貼近兒童的思維水平，易于理解、易于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解決問題的好方法。而借助公式推導的方法，得出的結論具有普遍性，更加可靠，讓人知其然又知其所以然。能夠對眾多的結論進行條分縷析的概括，以組塊的方式進行貯存，學生的思維就更加簡潔、有效。因而，回頭看、跳一跳的過程，既是積累數(shù)學活動經(jīng)驗、提取基本的數(shù)學思想的過程，又是夯實基本知識和基本技能的過程，在提高學生策略意識的同時，也自然有效地提升了學生的數(shù)學思維水平。

眾所周知，數(shù)學知識的深入理解與學習離不開思維發(fā)展的有效支撐。當前的數(shù)學課堂往往重視知識的累積，卻忽視思維的有效發(fā)展，以至于當數(shù)學知識的學習越來越難、越來越多時，學生就學得越來越吃力。究其原因，是思維的發(fā)展滯后于知識的積累所致。就像一些智者走得太快時會停下腳步，等一等自己的靈魂一樣，數(shù)學教學也應該在積累數(shù)學知識的同時，放慢知識積累的腳步，關注學生數(shù)學思維的有效發(fā)展。

如何促進學生數(shù)學思維的有效發(fā)展？既不能越俎代庖，也不能拔苗助長。當下的數(shù)學課堂要么給予學生的時空太小，學生的思維沒有成長的土壤；要么一味地追求高效，催熟學生思考。師問生答的問題交流方式使學生不能養(yǎng)成主動思考的習慣；即問即答的問題交流方式使學生不能學會思考的方法，止步于問題解決的教學。只有松開手里的韁繩，馬兒才能撒開歡地奔跑。聰明的學生是在思考中變得聰明的，只有給學生提供思維發(fā)展的時間與空間，學生的思維才有生長的可能。教師給學生思考的時間與空間，而不是僅僅給予結論，這樣學生才能越學越聰明，才能深層次地體驗到數(shù)學學習的樂趣，才能領略數(shù)學的魅力。

追問，是教師引領學生思維發(fā)展的一種有效手段。追問要貼近學生的思維水平，既要尊重學生的原有水平，又要在感性經(jīng)驗不斷累積的基礎上，及時介入，由感性經(jīng)驗的“聚變”引發(fā)內涵理解“質的提升”；追問要切入問題的內涵，學生才能將思維集中在最有價值的問題上，圍繞核心問題展開有效思考；追問要講究提問的技巧，掌握問題的跨度，貼近學生的最近發(fā)展區(qū)，關注問題的層次性，引領學生以漸進方式走向問題本質，構建問題的體系，借助問題的體系構建學生認知的體系。在教師的有效追問中，學生的思維才能自然地走向深遠。

數(shù)學是思維的樂園，教室理應成為思維的運動場，在追問中不斷地引領學生前行，讓學生在思維的過程中，學會思考的方法，提升思維的能力，漸漸地養(yǎng)成思維的習慣。用數(shù)學提升學生的思維，讓他們變得更加嚴謹，讓他們更加主動和深刻；用數(shù)學引領學生不斷探究，讓他們養(yǎng)成不懈追求的精神。這樣的數(shù)學教學才能從技巧層面上升到文化層面，這樣的數(shù)學教學才能充分發(fā)揮數(shù)學以“數(shù)”化人的文化功能，才能在更深層面落實“以人為本”的教學目標，才能在學生學習之路上留下更深的記憶。