讓操作更具生長的力量

湯衛(wèi)紅

一、 常見流程，你用嗎

1.猜想

（1）出示生活中一些事物的照片，讓學(xué)生找出平行四邊形，再讓學(xué)生舉出一些例子。

（2）猜測平行四邊形有什么特征，學(xué)生回答，教師板書特征并加上問號。

2.驗(yàn)證

（1）我們的猜想是否正確呢？需要通過操作來進(jìn)行驗(yàn)證。下面讓我們利用學(xué)具，想辦法做一個(gè)平行四邊形，再借助做出的平行四邊形驗(yàn)證你的猜想。

（2）學(xué)生用4根小棒（2長、2短）、釘子板和橡皮筋、兩個(gè)完全一樣的三角形、方格紙等漫不經(jīng)心地做出平行四邊形，并有口無心地說著所謂的驗(yàn)證。（其實(shí)是復(fù)述特征）

（3）教師請學(xué)生匯報(bào)：怎么做？怎么驗(yàn)證？學(xué)生往往背口訣、走過場式地用三角板和直尺配合驗(yàn)證平行、用直尺測量驗(yàn)證相等。

3.結(jié)論

看來，同學(xué)們的猜想是正確的。（去掉板書上的“？”）讓我們一起自豪地讀讀自己發(fā)現(xiàn)的特征。

二、 從來如此，便對嗎

對于這種認(rèn)識圖形特征的模式化教學(xué)，我們司空見慣，甚至因?yàn)槠溘`行了新課程所倡導(dǎo)的“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式而沾沾自喜。學(xué)生也早已對這一套滾瓜爛熟，毫不費(fèi)勁地應(yīng)付著。

冷靜審視這些課堂，我們不難發(fā)現(xiàn)：一堂課下來，學(xué)生除了強(qiáng)化了對已有認(rèn)識的記憶（這些圖形的特征早已成了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)），所獲無幾。我曾經(jīng)調(diào)查過部分學(xué)生：“既然你們都知道了特征，干嘛還要假裝去驗(yàn)證什么猜想，再得出結(jié)論？”學(xué)生的回答令我瞠目結(jié)舌：“沒辦法！老師要我們這樣做。反正可以不動(dòng)腦地玩一堂課?！逼鋵?shí)，所謂猜想，既沒有猜，也沒有想。學(xué)生只是把自己知道的說出來，根本就沒有任何數(shù)學(xué)思考的成份。形成強(qiáng)烈反差的是，天真的教師們?nèi)匀灰粠樵傅匕褜W(xué)生早已熟知的結(jié)論硬梆梆地打上一個(gè)問號，活生生地把一個(gè)結(jié)論拽回到猜想，再亦步亦趨地“引導(dǎo)”學(xué)生經(jīng)歷“探究”的過程。對學(xué)生而言，早已存儲(chǔ)于頭腦中的結(jié)論，哪里還有真正的“猜想”所具有的不可抗拒、讓人鍥而不舍地探究的魅力呢？所以，缺乏思維含量的操作驗(yàn)證也就使學(xué)生感到索然無味。事實(shí)上，上述教學(xué)還犯了循環(huán)論證的謬誤：做平行四邊形要應(yīng)用其特征，但卻要用做出的平行四邊形來驗(yàn)證對其特征的猜想。這無疑是對學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的誤導(dǎo)。我曾經(jīng)問過一些執(zhí)教的教師，“學(xué)生都已經(jīng)知道了，干嘛還要這么去上課呢？”教師的回答同樣令我瞠目結(jié)舌：“這種課，大家都這樣上，我不這樣上，還能怎么上？”顯然，有不少教師已經(jīng)意識到問題的存在，但都茫然不知所措。

三、 特征已知，怎么教

顯然，對于認(rèn)識圖形特征的教學(xué)問題已經(jīng)不是改良所能解決的，我們必須有根本性的變革。解決問題的基點(diǎn)是，我們得老老實(shí)實(shí)地承認(rèn)學(xué)生已經(jīng)知道了圖形的特征。學(xué)生對于假猜想、假驗(yàn)證早已是“小和尚念經(jīng)——有口無心”。與其走形式化的所謂科學(xué)探究之路，倒不如基于學(xué)生對圖形特征的初步認(rèn)識，考慮如何進(jìn)一步認(rèn)識、把握、應(yīng)用圖形的特征，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和思維能力。這其中，最重要和最根本的是如何摒棄形式主義的操作活動(dòng)，讓操作積累更具生長力量的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

1.引入

（1）出示木條釘成的長方形框架，讓學(xué)生說說長方形有哪些特征。并引導(dǎo)學(xué)生觀察對邊的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)長方形的對邊平行。（三年級學(xué)習(xí)時(shí)，未認(rèn)識平行。）

（2）將長方形框架拉成平行四邊形，說說這個(gè)平行四邊形有哪些特征。學(xué)生說出：對邊相等且平行、對角相等。

2.探究

（1）出示活動(dòng)材料，引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：怎樣做平行四邊形？

①6根小棒。（如：8厘米、5厘米各2根，3厘米、2厘米各1根，各組的小棒長度并不相同。）

②方格紙。

③釘子板。

④三角形紙片。（有的組3張，其中2張完全一樣，第三張不一樣，但可與前者拼成梯形；有的組只提供1張。）

⑤白紙緊包鋼尺。（紙上已留下包的折痕。）

⑥1張?zhí)菪渭埢?張一般四邊形紙。

（2）自主選擇2到3種材料想辦法做出平行四邊形。

（3）不能獨(dú)立解決的，合作完成。

（4）組內(nèi)討論：怎樣解釋自己做出的是平行四邊形？

3.交流

重點(diǎn)交流除了用驗(yàn)證平行線的方法說明平行和用直尺測量或數(shù)格子的方法說明相等以外，還有哪些方法可以說明？

對用材料①做的學(xué)生，追問：為什么不選擇3厘米和2厘米的？如果拿掉1根5厘米的還能做出平行四邊形嗎？這說明了什么？（對邊必須相等，才能做出平行四邊形。）

對用材料②做的學(xué)生，追問：未沿著格子線畫的兩條邊怎么說明是平行且相等的？學(xué)生有的說：因?yàn)槎际茄刂环较虍?×2的長方形對角線，所以平行且相等；有的說：把直角邊為2和3的三角形剪下平移，對邊將會(huì)完全重合。

釘子板，學(xué)生通常都是先圍成一個(gè)長方形，再拉伸或縮減得到平行四邊形。學(xué)生解釋：上邊從左往右縮進(jìn)2格，下邊從右往左也縮進(jìn)2格，所以傾斜的角度是完全一樣的，左、右兩邊平行……

對用材料④做的學(xué)生，追問：通過嘗試，你發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生答：必須用兩個(gè)完全一樣的三角形才能拼成一個(gè)平行四邊形，最好先重疊再旋轉(zhuǎn)（加平移）就能拼成平行四邊形?！?=∠1'，∠2+∠3=∠2'+∠3'，所以對角相等。如果用另外一個(gè)不一樣大的三角形來拼，只能拼成一個(gè)梯形，只有一組對邊平行。只用一個(gè)三角形，就先畫下它，再旋轉(zhuǎn)（或加平移）畫出完全一樣的另一個(gè)三角形也能做出平行四邊形。

用材料⑤做的學(xué)生解釋：因?yàn)殇摮叩膶吺瞧叫械?，所以沿著鋼尺的對邊分別畫兩組相交的平行線就得到平行四邊形。

用材料⑥做的學(xué)生解釋：梯形只有一組對邊平行，用畫平行四邊形的方法畫出另兩條邊（腰）中的一條的平行線就可以得到一個(gè)平行四邊形。一般的四邊形，以兩條相鄰的邊為基礎(chǔ)，分別畫出它們的平行線也就得到平行四邊形。

4.總結(jié)

通過探索和交流，你發(fā)現(xiàn)要判斷一個(gè)四邊形是不是平行四邊形，需要怎樣？學(xué)生紛紛表示：只需要符合其中一個(gè)特征，就能肯定它是一個(gè)平行四邊形。

四、 操作思考，給力嗎

傳統(tǒng)教學(xué)的一個(gè)最不符合概念關(guān)系的做法便是割裂長方形與平行四邊形的關(guān)系，將其并列甚至對立。教師明白它們之間的種屬關(guān)系，但往往遮遮掩掩、欲說還休，有的只在課的最后點(diǎn)到為止。我們徹底顛覆這一做法，開門見山地由長方形框架的變形操作引入一般平行四邊形。不僅如此，一開始便引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)長方形所具有的對邊平行特征，為知識的遷移奠定了基礎(chǔ)。更為重要的是，變形這一操作帶來的思考：形狀變了，對邊平行且相等的關(guān)系沒變，對角相等的關(guān)系沒有。這樣的操作有利于學(xué)生形象地理解變形過程中圖形內(nèi)涵的減少與外延的擴(kuò)大，促進(jìn)了他們對圖形關(guān)系的自主建構(gòu)。

我們在教學(xué)中并沒有將學(xué)生說出的特征命名為“猜想”，也沒有要求“驗(yàn)證”。而是讓學(xué)生用感知到的特征想辦法去做平行四邊形，并對特征進(jìn)行解釋說明。機(jī)械的比、量、數(shù)缺乏數(shù)學(xué)思考的魅力，無法引發(fā)起學(xué)生深入探究的熱情。我們的想法是：在多層次、多角度應(yīng)用特征的活動(dòng)中深化對特征的理解，在抽象和推理中抵達(dá)對本質(zhì)的把握。我們對操作活動(dòng)的設(shè)計(jì)可謂煞費(fèi)苦心。我們努力超越形式上、肢體上的“動(dòng)”，讓操作插上思維的翅膀，讓學(xué)生體驗(yàn)思考的力量，獲得經(jīng)驗(yàn)的生長?；顒?dòng)中，學(xué)生對材料的選擇、甄別需要思維的參與，特征的應(yīng)用不露痕跡。教師有意識地提供給各組材質(zhì)、長度、面積等非本質(zhì)屬性存在變化的材料，有利于學(xué)生經(jīng)歷圖形特征非本質(zhì)屬性的剝離和本質(zhì)屬性的抽取，滲透歸納推理的基本思想。材料①中別具匠心的3+2=5，既打破了學(xué)生用4根小棒圍四邊形的思維定勢，明晰了邊與小棒根數(shù)的非對應(yīng)關(guān)系（幾根小棒可以組成一條邊），有利于學(xué)生超越表象向抽象的圖形世界邁進(jìn)，又巧妙蘊(yùn)含了簡單的演繹推理。對材料②、③、④、⑥的處理，我們敢于碰學(xué)生對相關(guān)邊的關(guān)系似乎難以解釋的“硬骨頭”。實(shí)踐證明：學(xué)生的直覺思維和邏輯推理潛能驚人，學(xué)生在空間位置關(guān)系、合理推理、演繹推理等方面的直觀而不乏理性的智慧表達(dá)讓我們仿佛看到了直觀證明、解析幾何的雛形，令人折服。在三角形、梯形、一般四邊形的基礎(chǔ)上創(chuàng)造平行四邊形，能夠很好地幫助學(xué)生積累旋轉(zhuǎn)、平移、中心對稱等圖形變換的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在圖形轉(zhuǎn)化中厘清平行四邊形與其他圖形的內(nèi)涵差別和外延關(guān)系，在對比中分化出平行四邊形的本質(zhì)特征，促進(jìn)空間觀念的發(fā)展。材料④中，學(xué)生選擇兩個(gè)完全一樣的三角形拼成平行四邊形自然而然地對兩者的面積關(guān)系進(jìn)行了早期孕伏，而在嘗試過程中用兩個(gè)不完全一樣的三角形拼出梯形，更從反面強(qiáng)化了這種認(rèn)識。學(xué)生在嘗試用3個(gè)三角形拼出梯形后，移除不一樣的三角形得到平行四邊形的過程，則為用材料⑥中的梯形做出平行四邊形積累了直觀經(jīng)驗(yàn)。對材料⑤的操作能讓學(xué)生擺脫測量幾何的束縛，僅借助直尺創(chuàng)造的平行四邊形更能讓學(xué)生在操作和思考中觸及其本質(zhì)特征——平行，有了平行，一切特征皆隨之而來。從而也就從思想上自然地認(rèn)識到人類將這類圖形命名為“平行四邊形”所體現(xiàn)的本質(zhì)規(guī)定性及其合理性。

學(xué)生在這樣的操作思考中，面臨著形象思維、抽象思維、合理推理、演繹推理和空間觀念的巨大挑戰(zhàn)。但學(xué)生厭倦虛假的“再創(chuàng)造”，渴望考驗(yàn)智慧的挑戰(zhàn)。也只有在這樣的思考性操作中，學(xué)生才能積累起更具生長力量的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。著眼于學(xué)生的發(fā)展，我們需要為學(xué)生選設(shè)適宜操作活動(dòng)的資源空間、思維空間，促進(jìn)互動(dòng)性資源的生成，有意識地引領(lǐng)學(xué)生豐富認(rèn)識、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、提升思維品質(zhì)。