注重用向量線性運算的幾何意義解題

李凌云

摘 要：在解決向量的有關線性運算的習題時要注重用向量線性運算的幾何意義解題，把代數問題幾何化，從而達到事半功倍的效果。

關鍵詞：向量；線性運算；幾何意義

向量是近代數學最重要和最基本的概念之一，是溝通幾何、代數、三角等內容的橋梁，它具有豐富的實際背景和廣泛的應用。向量在高考中的考查主要集中在兩個方面：一是向量的基本概念和基本運算；二是向量作為工具的應用。基本概念和基本運算的考查主要以選擇和填空題的形式出現，解決此問題請不要忽略用向量線性運算的幾何意義去思考，從而使代數問題幾何化，可以達到事半功倍的效果。現以以下幾題為例說明：

例1.（2013湖南卷理科第6題）已知a，b是單位向量，a·b=0。若向量c滿足c-a-b=1，則c的取值范圍是（ ）

A.■-1，■+1 B.■-1，■+2

C.1，■+1 D.1，■+2

點評：平面向量線性運算是高考常考的知識點，在解題過程中善用它的幾何意義去理解、分析題意，代數問題幾何化，使要解決的問題更加清晰、明了。本題再結合圓的定義，動點C到定點D的距離為定值1，從而確定C的軌跡，使問題迎刃而解。

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圖1

例2.（2013北京卷文科第14題）已知點A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面區域D由所有滿足■=λ■+μ■（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的點P組成，則D的面積為__________

點評：本題也可以通過設點P的坐標為（x，y）用代數的方法，得出x，y的線性約束條件，利用線性規劃知識得出可行域的面積，但這種方法有些繁瑣，而利用向量的線性運算的幾何意義可以達到事半功倍的效果，再利用課本的例題結論輕松得出結果。

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圖2

例3.設向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a·b=■，（a-c）·（b-c）=0，則|c|的最大值等于（ ）

A.■ B.■

C.■ D.1

點評：本題主要考查向量的數量積運算和減法運算，在解題過程中善用向量減法運算的幾何意義再結合數量積垂直的充要條件從而確定動點C的運動軌跡，使代數問題幾何化，從而快速得出結果。

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圖3

（作者單位 江西省奉新縣冶城職業學校）