數學思想方法漫談

曹洪娥

摘 要： 數學教學不能僅滿足于單純的知識灌輸，還應使學生掌握數學最本質的東西——數學思想方法，用數學思想方法統率數學知識，培養和發展學生的數學能力.本文從數形結合思想、化歸思想、分類討論思想三方面對數學思想在教學中的應用加以闡述，為教學提供參考.

關鍵詞： 初中數學教學 數形結合思想 化歸思想 分類討論思想

數學思想是指現實世界的空間形式的數量關系在人的意識中的反映，再經過思維活動而產生的結果，是對數學知識發生過程的提煉、抽象、概括和升華，是對數學規律的理性認識，是開發智力、培養能力的重要途徑.數學方法是數學思想的表現形式，是指在數學思想的指導下，為數學活動提供思路和手段，是解決數學問題的根本策略.數學思想和數學方法既有聯系又有區別，數學思想是數學方法的理論基礎，數學方法是實施有關數學思想的技術手段.數學思想體現了概括性和普遍性，數學方法體現了操作性和具體性.數學思想比數學方法在某種程度上處于更高的層次.對于學習者來說，思想和方法都是他們思維活動的載體，運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，這種積累達到一定程度就會產生飛躍，從而上升為數學思想。一旦數學思想形成，就會對數學方法起指導作用.“掌握基本的數學思想和方法，能使數學更易于理解和便于記憶，領會基本的數學思想和方法是通向遷移的‘光明之路.”（布魯納語）因此，相比數學知識的教學，應更注重數學思想方法的教學，這對于抓好雙基、培養能力及培養學生的數學素質都具有十分重要的作用.

一、數形結合思想

“數無形時少直觀，形無數時難入微”，可見數形結合思想在數學學習中多么重要.所謂數形結合就是把數與圖形結合起來，直觀形象，使抽象的內容具體化，為分析問題和解決問題提供有利條件.中學生思維發展的趨勢是從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡，因此在中學數學教學中滲透數形結合思想尤為重要.

1.應用于概念教學

例1：講解平行四邊形、矩形、菱形、正方形時，我們可以用圖1的形式.這樣學生就可以很容易區分平行四邊形、矩形、菱形、正方形.再如：對三角形進行分類時，可以用圖2，這些圖能將事物的邏輯關系清晰地呈現在學生面前，使學生更易于理解和接受.

圖1 圖2

數學概念是現實的世界中空間形式和數量關系在思維中的反映，是正確推理和判斷的依據，抽象性很強.中學數學中概念描述較抽象，這種抽象性和中學生思維的直觀性存在一定的矛盾，解決這一矛盾的方法之一，就是采用數形結合方法.數形結合可使抽象的概念直觀、形象，便于學生理解記憶，也使學生的空間觀念和認識提高到一個新的水平.

2.應用于法則教學

例2：學習了勾股定理a■+b■=c■，借助兩個相同的長方形（如圖3），對勾股定理進行驗證.借助圖形較直觀地得出S■=S■+S■+S■，■（a+b）（a+b）=■ab+■ab+■c■，從而得出a■+b■=c■的結論.

圖3

數學公式言簡意賅地反映了數量關系，教師在進行邏輯證明的同時，結合圖形使數學知識以形象化的方式呈現給學生.既使同一結果從不同的角度得到印證，又讓學生初步感受到邏輯與非邏輯思維能力的協同作用.

課堂教學還可以用數形結合思想分析和解決應用題，可以將應用題中各種數量關系直觀地呈現在學生面前，有利于學生分清題中的數量關系，豐富表象，拓展思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力.

二、化歸思想

化歸思想是初中階段接觸最多的數學思想，其基本形式有：化難為易，化繁為簡，化曲為直，化未知為已知等.即通過變形把有待解決的問題通過某種轉化過程，歸結為一個已經解決或者比較容易解決的問題，通過對該問題的解答，解決原問題.化歸思想在解決數學問題中起到巨大的支撐作用.在中學數學教學中，運用化歸思想進行教學，可以促使學生把握事物的發展過程，并對知識的內部結構、縱橫關系、數量特征等有深刻的認識.

例3：（2009青島）（如圖4）長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm，如果用一根細線從點A開始經過4個側面纏繞一圈到達點B.那么所用細線最短需要？搖 ？搖？搖？搖cm.

圖4

分析：有不少求線段長度的問題有時候我們無從下手，如果換個角度思考問題，就可以迎刃而解.因為長方體是立體圖形，需要將其轉化成平面圖形，沿長方體的一個側面展開得到一個長8cm、寬6cm的長方形，點A經過4個側面纏繞一圈到達點B的最近距離就是長方形對角線AB的長度.從而將實際問題轉化成直角三角形模型，繼而利用勾股定理解決問題.

例4：一張邊長8厘米的正方形紙片，從一邊的中點到臨邊的中點連一條線段，沿這條線段剪去一個角（如圖5），剩下的面積是多少？

圖5 圖6

這是一道不規則圖形的面積計算題，我們不能直接利用面積計算公式計算.如果采用補形的方法（如圖6），很容易就能看出所求的面積就是正方形的面積減去圖中陰影部分的面積.這樣就把有待解決具有難度的問題轉化為比較容易解決的問題.在初中數學教學中，教師應不失時機地利用這些圖形變換，進行思想方法的滲透，讓學生利用化歸思想，將圖形通過旋轉、平移、翻折、割補等途徑加以“變形”，使題目變難為易，求解也水到渠成.

三、分類討論思想

分類討論是指數學問題不能按統一的方法去處理，根據研究對象性質的差異，按可能出現的各種情況分別進行討論，然后把各種相互獨立的結論匯總，得出問題的答案.

例5：（2010上海）已知方程m■x■+（2m+1）x+1=0有實數根，求m的取值范圍.

本題字母系數的取值范圍是否要討論，要根據題目的條件而定.一般設置有“二次方程”或“兩實數根”，這些都表明該方程是二次方程，不需要討論，但切不可忽視二次項系數不為零的要求，分兩種情況：

（1）當m■=0時，即m=0時，方程為一元一次方程x+1=0，有實數根x=1.

（2）當m■≠0時，方程為一元二次方程，據有實數根的條件得：△=（2m+1）■-4m■=4m+1≥0，即m≥-■且m■≠0，綜合（1）（2）得m≥-■.

例6：（2012龍東市）等腰三角形的一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為？搖 ？搖？搖？搖.

圖7

本例屬圖形不確定性而引起的分類討論，分高在三角形外和三角形內兩種情況，解決此類問題要確保不重復、不遺漏.

變式：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是30°，腰長4cm，則腰上的高為？搖？搖 ？搖？搖.

初中數學教學中涉及的數學思想和方法還有數學建模思想、整體思想等，數學教學應當是數學思想和方法的教學。教師在課堂教學中，要結合不同的問題情境適時、恰當地滲透思想方法，使學生學得輕松、愉快，學得扎實.學生學得的知識是會遺忘的，但他們學得的思想方法是終身受益的.我認為教師要善于把握數學思想方法，精心挖掘，在教學中相機滲透，使數學思想成為學生通向知識遷移的“光明之路”，使學生的數學學習能力有更大的飛躍.

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