線性規劃折射出的數學建模思想

葉啟海

中共中央國務院在《深化教育改革，全面推進素質教育》中指出：實施素質教育，就是全面貫徹黨的教育方針，重點培養學生的創新精神和實踐能力，中學數學教師應在培養學生的素質上狠下工夫。數學素質一般包括：數學意識、問題解決、邏輯推理和信息交流四個方面。數學建模既有“數學意識”的因素，又是“問題解決”的一部分，因此在中學實施“數學建模”的教學是增強學生應用意識和提高數學素質的重要途徑之一。然而建模步驟不僅要求有相應的數學知識，還涉及許多非數學領域的知識。求解過程除了數學和物理方法外，還常用到計算機進行模擬、試算、檢驗等。線性規劃問題研究的是線性目標函數在線性約束條件下取得最大值或最小值問題，線性規劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應用：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下如何使用它們完成最多的任務；二是如何合理安排和規劃能以最少的人力、物力、資金等資源完成該項任務。常見的線性規劃應用問題有物資調運問題，產品安排問題，下料問題，以及和相關數學知識的整合問題。隨著強有力的算法和計算機技術的發展與應用，線性規劃應用已滲透到社會生活的各個層面，經濟上能直接創造巨額財富，軍事上催生重大的戰略戰術變革，甚至對人類文明的進程產生直接影響。下面筆者通過對一個線性規劃應用的分析，談談自己對中學數學建模的理解和嘗試。

一、相關定義

1.數學建模

數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程。這里的實際現象既包含具體的自然現象比如自由落體現象，又含抽象的現象比如顧客對某種商品所取的價值傾向。這里的描述不但包括外在形態、內在機制的描述，而且包括預測、試驗和解釋實際現象等內容。建模包括模型準備、模型假設、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應用等方面。

2.數學建模過程框架

如圖1：

3.線性規劃的建模及其應用

線性規劃是數學規劃的一種，線性規劃問題研究的是線性目標函數在線性約束條件下取得最大值或最小值問題，運用在工農業生產和國民經濟中，解決運輸調配、經濟計劃、生產安排、產品用料配方等一類數學規劃問題。

二、線性規劃問題建模舉例

中學階段涉及線性規劃的問題基本都是現實問題，例如實際生產中的運輸問題、計劃安排、合理配料等都可以借助線性規劃解決。下面我們就通過例題分析一下具體的數學建模過程。

例：家具公司制作木質的書桌和椅子，需要木工和漆工兩道工序。已知木工平均4h做一把椅子，8h做一張書桌；漆工平均2h漆一把椅子，lh漆一張書桌；該公司每周木工、漆工的最多工時分別有8000個和l300個。又已知制作一把椅子和一張書桌的利潤分別是l5元和20元，怎樣安排生產才能獲得最大利潤？

本題具體過程如下：

（1）模型建立

所謂建立模型就是根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。在假設的基礎上，利用適當的數學工具刻畫各變量之間的數學關系，建立相應的數學結構。（盡量用簡單的數學工具）

本題是實際例子，說的是家具公司制作書桌和椅子，我們需要先把實際問題轉化為數學問題。此題中我們假設每周生產x把椅子，y張書桌，總利潤為z，則木工4h做一把椅子，8h做一張書桌最多工時有8000個，變為4x+8y≤8000，漆工2h漆一把椅子，1h漆一張書桌最多工時1300個，變為2x+y≤1300，同時x，y均為正數，制作一把椅子和一張書桌的利潤分別是15元和20元，則總利潤為z=15x+20y，由此得到以下數學模型：

4x+8y≤80002x+y≤1300x，y≥0

求目標函數（利潤）z=15x+20y在約束條件下的最大值，這樣就把實際問題轉化為數學問題了。

要點：實際問題轉換為數學問題最關鍵就是要從實際問題中抽象出數學本質，而不能被實際問題這個表面現象所迷惑，特別需要注意的就是要能看出不等關系及隱含條件。

（2）模型求解

所謂模型解決就是利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（估計），說白了就是解決剛才轉化來的數學問題。本題我們就選擇線性規劃解決，具體解法如下：

①作出可行域：問題的可行性解集是由約束條件所界定的四邊形區域OABC，見圖，它們的邊界分別為4x+8y=8000，x+y=1300，x=0和y=0，頂點坐標分別A（0，1000），B（200，900），C（650，0）。

②確定平移直線，尋找非整最優解：目標函數的等值線為一組平行線z=15x+20y，它在頂點B（200，900）取得最大值（也可用窮舉法將O，A，B，C坐標代入一一求值，選擇確定）z=15×200+20×900=21000，即安排生產200把椅子，900張書桌，可獲得最大利潤21000元。

要點：此方法稱為平移交軌法，就是用直線平移求最值，屬于線性規劃。解題時需要先對目標函數變形，變為斜截式：y=-0.75x+z/15，此時截距b=z/15，要求z的最大就是截距取最大，本題中就是B點。解題中還有許多問題需要注意，如解答應該考慮實際意義要照顧答案的取值范圍，有些還要考慮是否是整點問題等。

（3）模型分析與檢驗

所謂模型分析就是對所得的結果進行數學上的分析，將模型分析結果與實際情形進行比較，以此驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次重復建模過程。

本題回答如下：由計算結果可知安排生產200把椅子，900張書桌時可以獲得最大利潤2100元。

要點：模型分析與檢驗這一過程在實際運用中是比較重要的，因為我們測算的數據存在誤差，同時可能計算方法的設計方面存在不完美的地方，從而會導致結果存在問題，所以需要我們進行檢測與分析并與實際對照。本例中木工做椅子書桌與漆工漆椅子書桌所花的時間，木工、漆工的最多工時，一把椅子和一張書桌的利潤這些數據均是題目提供的，我們無法考證這些數據的真偽，故無法進行檢驗，所以一般在中學教學中這一步就是一個回答的過程，通過回答把數學解答再返回實際，畢竟數學建模是用來解決實際問題的。

三、結語

到此為止我們的線性規劃問題就解決了，通過解題過程我們給大家完整地展示了一下數學建模的過程。中學數學教學大綱指出：數學教學中發展思維能力是培養能力的核心。無論是數學研究，還是數學學習，其目的是將數學運用于社會，服務于社會，而運用數學解決實際問題是通過數學模型這座橋梁實現的。構造模型是為了解決實際問題，應用數學解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。這就需要深厚扎實的數學基礎，敏銳的洞察力和想象力，對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學科學技術轉化的主要途徑，在科學技術發展中的重要作用越來越受到數學界和工程界的普遍重視，它已成為現代科技工作者必備的重要能力之一。然而我們對建模的探索和總結是無止境的，只有在建模實踐中不斷概括和總結成功經驗，才能形成和豐富指導建模的理論體系。因此，加強數學應用意識和能力的培養，加強建模的學習對于學生具有特別重要的意義，值得我們探究。

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