基于導學案的空間向量與立體幾何教學探究

吳賢集

新課程標準中，對培養目標、課程設置及課程實施評價方面提出了更為明確的要求，按照新課程要求，把課堂教學改革的目標，定位在以培養學生獨立思考，自主學習的能力，具有科學精神，形成科學態度，學會科學方法，逐步形成適應學習化社會需要的終身學習能力的層次。

所謂“學案”是指用于指導學生每一課時進行學習的助學方案，它是相對于“教案”而言的。“學案”教學法是以學案為載體，以導學為方法，教師的指導為主導，學生的自主學習為主體，師生共同合作完成教學任務的一種教學模式。這種教學模式使教師的主導作用和學生的主體作用和諧統一，發揮最大效益。在這種模式中，學生根據教師設計的學案，認真閱讀教材，了解教材內容，然后，根據學案要求完成相關內容，學生可提出自己的觀點或見解，師生共同研究學習。

學生借助“學案”自主學習，初步掌握基礎知識、概念、理清知識線索，并嘗試用掌握的知識解答“學案”中的問題，進行自我能力訓練或討論交流，并在“學案”上作相關的學習記錄。學生能自主完成的內容，就可以先學習掌握；剩余部分在課堂教學討論中解決，從而提高課堂教學效率。

去年我采用導學案的教學模式，在高一（13）班學生的配合下、取得一定的效果。本學期針對學生手中的資料“導與練——聽課手冊”（泉州專版）中的安排：生活中的數學、瞻前顧后、要點突破、典例精析考題賞析等五步，又根據數學選修2-1第三章“空間向量與立體幾何”的內容特點以及需要的數學思想方法—分類討論與數形結合，不管有無使用導學習慣的學生，對這一章的教學模式準備完全可以采用導學案的方式。下面就這一章的內容進行分析，并結合導學案的思想，說明教學探究。

一、對內容的說明

在三維空間中，表示方向和大小的量是有三個分量的向量——三維空間向量（簡稱空間向量）。空間向量在理論研究和解決實際問題方面有廣泛應用，它成為解決立體幾何中的大量問題的有力工具。通過學習本章，可以使學生在對平面向量已有認識的基礎上，進一步學習空間向量，并運用空間向量研究立體幾何中的問題，進一步體會向量方法在解決幾何問題中的作用。

全章共分兩節，“空間向量及其運算”是本章的基礎，重點在空間向量的基本概念和基本運算；“立體幾何中的向量方法”從一個側面（立體幾何）反映了空間向量的應用，同時也是對空間向量的再認識。利用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”，是本章的第二個重點。

本章的難點是：建立立體圖形與空間向量之間的聯系，把立體幾何問題轉化為向量問題。主要的是利用“基底”、“坐標表示”等概念。

二、注重本章編寫過程中的兩個指導思想

第一，在本套教科書前面的“空間幾何體”（必修2）和“平面向量”（必修4）的基礎上，從數量表示和幾何意義兩方面，把對向量及其運算的認識從二維情形提升到三維情形。這是“由此及彼，由淺入深” 的認識發展過程。

第二，以立體幾何問題為載體，體現向量的工具作用和向量方法的基本步驟和原理，再次滲透符號化、模型化、運算化和程序化的數學思想。

三、注重知識間的聯系，溫故而知新，運用類比的方法認識新問題

綜觀本章內容與前面相關內容，容易發現：

空間向量是平面向量的推廣，兩者除維數不同外，在幾何意義、坐標表示、運算等方面都有一致性，平面向量基本定理與空間向量基本定理也有形式上基本一致的內容。

利用空間向量解決立體幾何問題，是利用平面向量解決平面幾何問題的發展，主要變化是維數的增加，討論對象由二維圖形變為三維圖形。基本方法都是將幾何問題用向量形式表示，通過向量的運算，得出相應幾何結論。

鑒于上述認識，教師要注意充分利用學生已有的關于平面向量和平面幾何中向量方法的知識基礎和學習經驗，在回顧和歸納預備知識的基礎上，進行新舊內容之間的類比。本章內容的呈現方式多為從回顧平面向量的相應內容說起，敘述方式多為“與平面向量一樣……”“類似于平面向量……”“對比平面向量……”，設置的問題中有許多是與平面向量有關的，全章從開篇引言到章尾小結都關注空間向量與平面向量的聯系。總之，本章教材編寫過程中，重視知識結構中的縱向聯系，強調內容中“推廣”和“發展”的成分，創造條件幫助學生實現認識上的正向遷移，從而達到溫故知新的效果。

四、強調通性通法，突出一般規律，滲透基本數學思想

分析本章主要內容，會對以下認識產生深刻印象。

第一，向量是從豐富的物理背景中抽象出的數學概念，不論平面向量、空間向量，還是高維向量，都是既有大小又有方向的量。向量的表示方式與坐標密切相關，坐標表示形式可以刻畫量的大小和方向，向量的維數與它所在空間的維數一致。向量的運算有其自有的法則、運算律、幾何解釋和表示形式。

第二，幾何中的向量方法是一種常用的方法。平面幾何所討論的對象是同一平面上的點、直線等元素，它們可以與平面向量建立聯系，利用平面向量可以表示平面上直線之間的平行、垂直關系以及兩條直線夾角的大小，因此許多平面幾何問題可以轉化為平面向量問題，通過平面向量的運算得出幾何結論。與此完全相似，立體幾何所討論的對象是三維空間中的點、直線、平面等元素，它們可以與空間向量建立聯系，許多立體幾何問題可以轉化為空間向量問題，通過進行空間向量的運算得出幾何結論。