從三道試題的錯誤解法談幾何概型概念的教學

呂家強

一、三道試題的教學反饋

以下是幾何概型概念教學后，學生在解決有關(guān)概率問題所出現(xiàn)的困惑或者是錯誤，列舉出來并做思考，反思一下：在幾何概型概念的教學中應該抓住什么？

[問題1]事件區(qū)域缺失了嗎

例1.假設小明家訂了一份報紙，可能在早上6：30至7：30之間把報紙送到小明家，小明的爸爸離開家去工作的時間在早上7：00至8：00之間.試求小明的爸爸能得到報紙的概率.

解析：為方便作圖，記6：30為0時，設送報人把報紙送到小明家的時刻為x，小明爸爸離開家的時刻記為y，則0≤x≤60，30≤y≤90（單位：min），則x、y對應區(qū)域如圖1，小明爸爸要能看到報紙，必有y≥x，在坐標系中作出上述區(qū)域，可見S矩形ABCD=602，S五邊形AEFCD=602-·302.

這是筆者在課堂上舉的一個例子，正要總結(jié)時，下邊站起來一位同學.

學生A：老師，我覺得你的解法不對！（全班同學都愕然！）

教師：請你說一下原因好嗎？

學生A：你看△OAE內(nèi)的點，是送報人在7：00之前把報紙送到，這個區(qū)域內(nèi)小明的爸爸也能看到報紙，你在算概率的時候為什么不把這一區(qū)域包含在內(nèi)呢？

教師：△OAE內(nèi)的點應該是怎樣的？

學生：一定能看到報紙（齊回答）。

學生A：可你的五邊形AEFCD內(nèi)不也是一定能看到嗎？

很多投以贊同的目光，對呀，△OAE內(nèi)的點也表示能看到報紙，為什么算概率時把這一塊缺失了呢？

教師：請大家再思考，△OAE內(nèi)的點與AEFCD內(nèi)的點有區(qū)別嗎？（開始議論）

……

[問題2]正確答案背后的問題

下邊是筆者自編的一道作業(yè)題，是象限角與幾何概型結(jié)合，從批改作業(yè)的過程中發(fā)現(xiàn)，有近半數(shù)的同學采取了下述解法：

例2.已知角α是第一象限的角，tanβ>0，求α與β終邊重合的概率.

這個答案是對的，可這種解法對嗎？

[問題3]同一事件發(fā)生的概率居然會有兩個嗎

下邊這道習題在文[1]～[6]中都作為幾何概型中典型的反例被引用.但都是只分析了錯誤的原因和正確的解法，對于典型的錯誤，分析錯因并找到正確的解法只是對其認識的第一層面，關(guān)鍵是這樣的錯誤能給教和學帶來什么啟示，弄清這些才能達到認識上的真正提高.本文也把該例引出，以與讀者共同反思幾何概型概念的教學.

幾何概型教學后，故意把這道習題交給學生處理，正如前面文章所言，學生的解法確實呈現(xiàn)以下兩種情形.

例3.如圖3，在等腰直角△ABC的斜邊AB上隨機取一點M，求AM的長小于AC長的概率.

解法一：點M隨機分布在線段AB上，在AB上截取AC′=AC，于是P（AM

解法二：如圖4作射線CM隨機分布在∠ACB的內(nèi)部，在AB上取AC′=AC，則∠ACC′=■=67.5°，故滿足條件的事件的概率為P=■=■.

二、對幾何概型概念教學的認識

教材中給出的幾何概型的定義是這樣的，如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型（geometric models of probability），簡稱幾何概型.幾何概型概念教學的著力點是什么？

1.幾何概型是用來運算隨機事件概率的一種理想模型和有效的方法，所以應在隨機元素（基本事件）構(gòu)成的區(qū)域內(nèi)展開

2.測度應反映出區(qū)域的可測性

幾何概型解決的問題對應的基本事件是無限的、不可數(shù)的、等可能的，但必須是可測的.在問題2中，雖然學生做對了答案，但這種方法是錯誤的，這是由于用面積作為測度的話，根本不能測量出一、三象限和陰影部分的面積，正確的方法應該是用弧度或角度作為測度來解決問題.

3.測度是與等可能性相對應的

也就是說，測度必須能刻畫每一個基本事件發(fā)生的等可能性.問題3的矛盾非常明顯地體現(xiàn)了這種對應性，事件“AM的長小于AC長”的隨機性是由點M等可能出現(xiàn)在AB上產(chǎn)生，對應的測度應該是長度.對于解法二，用角度作為測度，應該與下面的問題中隨機性相對應.

在等腰直角△ABC中，過直角頂點C在∠ACB的內(nèi)部隨機作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM

對于這個例子，點M是由射線CM在∠ACB的內(nèi)部等可能出現(xiàn)產(chǎn)生的，只有角度才能反映這種等可能性.對等可能的理解是幾何概型教學中的一個難點，實際教學中沒必要在文字上多做解釋.概念教學中可多搜集這樣的反例，通過對比、鑒別以加深對這一點的理解.也可以借助計算機軟件，恰當設計一些例子，讓這一問題直觀化，像文[2]中用幾何畫板設計動畫加深學生理解的做法很值得我們借鑒.

參考文獻：

[1]高峰.兩類幾何概型問題的辨析[J].高中數(shù)學教與學，2007（11）.

[2]昌明.對一道課本幾何概型習題討論引出的思考[J].數(shù)學教學，2008（09）.

[3]胡典順.例談幾何概型[J].中學數(shù)學，2007（07）.

[4]許浩.幾何概型典型錯誤理解的診斷與分析[J].數(shù)學通訊，2008（06）.

[5]龐新軍.幾何概型典型誤解舉例[J].數(shù)理化解題研究，2008（10）.

[6]劉瑞美，方立新.幾種常見的幾何概型及簡單應用[J].中學數(shù)學研究，2008（07）.

（作者單位 安徽省濉溪縣第二中學）