對兩例易錯杠桿平衡問題的推理

張明邦

對于杠桿平衡問題，一直以來是杠桿平衡條件應用得重點，同時也是杠桿知識中的難點，因為杠桿本身處于平衡狀態，但條件發生變化時，杠桿是否可以繼續保持平衡呢？以常規方法來推理，是根據依據杠桿平衡條件。對變化進行比較后，通過公式計算結果來判定，此種方法的缺點是運算難度大、耗費時間長。所以，隨著社會的需求與技術的革新，此類方法顯然不適用。本文通過以下兩例案例，用推理法和計算法進行分析，從而總結出推理法的優點與用法。

杠桿平衡 問題 推理 示例分析

一、案例一

杠桿平衡問題在實際教學過程中極易出錯，下面是實際教學過程中遇到的兩例易錯題實例。

例1.如圖1所示，杠桿兩端掛有鐵塊，杠桿處于平衡狀態。G甲﹥G乙，

當將兩鐵塊同時浸沒入水中時（C）

A.杠桿仍保持平衡B.不平衡，左端下沉C. 不平衡，右端下沉D.無法判斷。

錯解：C

分析：對于本題，學生很容易得出C答案正確的結論。而得出這個答案的思路是“想當然”的，他們認為圖1中，支點偏左，G甲偏大。當鐵塊完全浸沒入水中時G甲由于體積大而受到更大的浮力，使得杠桿左端受到向下的力減小得更多，則杠桿左端上升，右端下沉。筆者對此題進行了實驗驗證和理論推導，正確答案為A，即杠桿仍保持平衡，具體推導過程如下：

思路：原來杠桿兩端所受的力大小分別等于兩端鐵塊所受的重力的大小，此時杠桿平衡。后來兩鐵塊同時浸沒入水中后，都受到了向上的浮力。杠桿兩端所受的向下的拉力大小變成了兩端鐵塊所受的重力和浮力的合力的大小。新的問題是兩邊合力的大小所產生的力矩〔力矩=力×力臂（M=FL）〕是否使杠桿平衡。推導過程：如圖2所示起初杠桿平衡時有G甲L甲=G乙L乙，設鐵塊的體積分別為V甲和V乙，鐵的密度為ρ鐵，水的密度為ρ水。則浸沒入水中后，鐵塊受到的浮力F=ρ水ɡV鐵。因為鐵塊的體積為

二、案例二

例2.如圖3所示，有一根一端粗一端細的均質木棒，用繩子拴住木棒的O點，將它懸掛起來后，恰好處于水平位置，如圖所示，若把木棒從繩子懸掛處鋸開，則被鋸開的木棒（ ）

A 粗細兩端一樣重 B 粗端較重 C細端較重 D無法判斷錯解：B（說明：資料所給答案為B，起初師生也認為是B答案）。

錯解分析：大家看圖后認為左邊部分短，對應的力臂L左短，右邊部分長，對應的力臂L右長，即L左﹤L右，由杠杠平衡條件G左L左=G右L右，得G左﹥G右，得出B正確的錯誤答案。

分析：此題有兩個隱含條件，一個是木棒密度均勻；另一個是木棒的粗細變化率均勻。筆者對此題進行了如下理論推導。

如圖4所示，當繩子掛在O點時，木棒水平平衡，說明木棒重心在繩子所在的豎線上。設木棒總長為L，重心距左端距離為1nL ，

以上兩題的解題過程啟示我們，對于杠杠的平衡問題，不能簡單的從“力”的角度或杠桿的“長短”入手得出結論，而應從力矩平衡的角度去推理論證解決問題。

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