巧解線性目標函數的值域

楊亞雄

線性目標函數是新課標的一大熱點和必考內容，隨著其內容向縱深發展，考查形式多樣化，與之密切相連的線性目標函數的值域逐漸浮出水面，活躍在近年的高考題和競賽題中，筆者根據近幾年線性目標函數的值域總結了幾中解決方法，供大家參考。

線性目標函數 值域 線性平移

解線性目標函數 Z=Ax+By 的約束條件的值域問題，就是在由滿足約束條件的可行解（x y）組成的可行域內，利用線性平移的方法找到點（x0 y0 ），使目標函數取得最大值或最小值。

線性規劃求值域的基本方法有五種：分別是幾何意義法、變量替換法、解不等式法、界點定值法、向量投影法。

例設x y滿足條件 x-4y≤1 ①3x+5y≤25 ②

x≥1 ③

求z=2x-y的值域

解法：

1.幾何意義法

如圖1先作出可行域求得A（5、2）B（1、1）C（1、225）作出l0 ：2x-y=0

再平移，當過l0 C點時，zmin =-125

2.變量替換法

由z=2x-y得y =2x- z代入約束條件

-7x+4z≤-3 ①

13x-5z≤25 ②

x≥1 ③

把z看作縱軸，劃出區域如圖2 觀察可知最高點H（5、8）L（1、-125）

所以zmin =-125 zmax=8

3.解不等式法

由解法2可知-7x+4z≤-3 ①

13x-5z≤25 ②

x≥1 ③

可變為4z+37≤x ①

x≤5z+2513 ②

x≥1 ③

所以1≤5z+2513 ①

4z+37≤5z+2513 ②

解得-125x≤8

4.界點定值法

把△ABC的頂點A（5 、2）B（1、1）C（1、225）的坐標分別代到目標函數中

當x=5 y=2時z=2x-y=2×5-2=8

當x=1 y=1時z=2x-y=2-1=1

當x=1 y=-125時z=2x-y=2×1-225=-125

即zmin =-125 zmax =8

5.向量投影法

筆者根據自己教學過程中發現學生對目標函數的幾何意義理解不夠深刻時錯誤解題與浪費時間的原因。當然求解線性規劃問題方法較多，平常練習時要多思考，考試時才能想到高效率的方法。

下面有兩道練習題供大家用以上幾種方法解決。

1）2012年全國高考大綱卷理科13題文科14題

x y滿足條件x-y+1≥0 ①

x+y-3≥0 ②

x+3y-3≥0 ③

則z=3x-y的最小值為（ ）

2）2012年安定區東方紅中學第一學期期末試卷13題

x y滿足條件

y≤x ①

x+y≤2 ②

y≥0 ③

則z=3x-y的最大值為（ ）