“正切函數的性質與圖像”的教學實踐與認識

胡曉雯

正切函數 性質 圖像

1案例背景

2012年12月，筆者參加了校內舉行的“聚焦課堂 高效教學研究月”的活動，開設了一節公開課——“正切函數的性質與圖象”。課后通過專家點評、與同行交流，對學生的主體性地位有了更為深入的認識，對新課程理念有了更為具體的理解，對以“教給學生什么、怎樣教給學生”為立足點開展的有效教學活動很受啟發。下面是筆者對這次活動的心得體會，希望引起同行的關注。

2教學過程

在研究正弦函數的圖像與性質時，我們借助于單位圓中的正弦線，通過平移、描點作出了正弦函數的圖像，再結合圖像研究性質并解決相關問題。因此在教學中，很多同行都會采用類比思想，先大致作出正切函數圖像，再通過圖像研究其性質并解決相關問題。本著新課改理念，新課程不僅僅利用類比思想來研究正切函數，而且在此基礎上做了更大的突破。它換了一個新視角來研究正切函數：先根據已有的知識研究正切函數的相關性質，結合性質作出圖像，再由圖像去驗證已有的性質并挖掘其它性質，最后利用圖像和性質解決相關問題。這樣既為合理作出正切函數的圖像奠定了理論基礎，同時也傳遞給學生一個訊息，研究函數的相關問題時，數形結合不僅僅是從形到數的研究，也可以從數到形來進行研究。這樣既拓寬了學生的思維，又使學生研究問題的方法更上了一個臺階。在此思想的指導下，筆者在教學中收到了很好的效果?，F將本次活動的課堂教學案例梳理如下，如有不足，懇請斧正。

教學過程如下：

2.1復習并引入新課

練習：畫出下列各角的正切線

設計意圖：借助于單位圓讓學生作出正切線，既是復習也為后面用類比的思想作出正切曲線埋下了伏筆。教師就是引導學生聯系原有的知識，為學習新知做好鋪墊。這時教師可選擇一些有代表性的作圖結果，然后用實物投影展示，這樣哪怕教師不點撥，學生就清楚了自己的問題所在，充分體現了以學生為主體的思想。

2.2主動探究，解決問題

2.2.1研究正切函數的性質

設計意圖：教師先設計好學案，讓學生利用在單位圓中作出的正切線，自己去研究正切函數的相關性質。教師利用幾何畫板做出角的終邊在各個象限時正切線的動畫演示。讓學生通過幾何的畫板演示直觀感知正切函數的“兩域三性”。（這里也可利用其它知識研究正切函數的性質，如用三角函數的定義去研究定義域和值域，結合誘導公式研究周期性、奇偶性…）這樣不僅發揮了學生的能動性，而且發散了學生的思維。因為學生在收集、整理性質過程中又是一次思維的整合，對如何研究函數性質又更進了一步。教師在巡視過程中及時匯總學生意見，引導學生形成正確的知識和方法。同時教師事先要估計學生學習中會遇到的困難，想方設法幫助學生突破難點。避免教師對學生喋喋不休的低效灌輸，這既是對學生主體性地位的尊重，也是踐行新課程“以學生的發展為本”理念的需要。）

2.2.2結合性質，小組合作探究，作出函數的圖像

類比y=sinx圖象的由來，你能通過單位圓的正切線作y=tanx，x∈（-π2，π2）的圖象嗎？

1.先畫出y=tanx在一個周期內的簡圖。

2.教師用投影儀展示作圖結果，并作出在定義域上的圖象。

3.投影儀展示完整圖像。目的是規范作圖，理順思路的作用。

教師小結：

第一步：畫出正切函數的在一個周期內的圖象；

第二步：將圖象向左、向右平移拓展到整個定義域上去；

第三步：根據圖象總結性質。

設計意圖：從教學實踐看，教師盡可大膽放手把活動、思考的時間還給學生，把觀察、歸納、概括、探究的機會讓給學生，這樣有助于學生思維的發展。教學中先讓學生自主繪圖，再投影學生的圖像，通過投影儀糾正圖像。最后再結合前面研究出的性質讓學生進一步觀察圖像。這樣學生結合定義域會明白為什么正切函數會有兩條漸近線，結合值域明白為什么函數圖像可以向上向下無限延伸，結合奇函數和單調性明白了如何正確連線成圖才能得到較精確的正切函數圖像。這樣通過學生自己動手得到圖像，使學生學會了一類周期性函數的研究方式。學生親身經歷數學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強了學習數學的興趣，從而提升學生分析問題的能力及嚴密認真的態度。課程標準指出，教師需要合理利用信息技術輔助教學，揭示數學本質，讓學生的理解更透徹。

2.2.3觀察圖像，小組合作討論進一步研究性質

（1）正切函數的圖像是被相互平行的直線x=kπ+π2，k∈Z所隔開的無窮多支形狀完全相同的曲線組成的。

（2）對每一個k∈Z，在開區間內，函數單調遞增.

（3）正切函數的圖像關于原點對稱；（問：還有其他的對稱中心嗎？）總結出對稱中心為（kπ2，0），k∈Z，無對稱軸

設計意圖：除了前面所研究的正切函數性質外，讓學生進一步觀察函數圖象。分小組根據正切函數圖象去驗證正切函數已有的性質，并挖掘出其它的性質。教師提出問題后，先讓學生自主探究，

嘗試解決。教學中經常會遇到這樣的情況，教師剛把問題提出來，就開始頭頭是道的分析起來，或者沒等學生充分思考就開始提問，剝奪了學生思維活動的時間和空間。學生的思維豐富多彩，有奇思妙想，教師可能始料未及。筆者在教學中通過四人小組合作、交流，留足夠的時間讓學生去發現正切函數的其它性質。根據學生學習知識的發生發展成熟過程，充分體現了學生的主體性，讓學生活起來。小組討論過后，先讓其中一個小組成員總結、發言，其它各小組補充或更正，這樣可以培養學生之間的團結協作能力及勇于探索的精神。

2.2.4類比正弦函數“五點法”作圖，如何快速作出正切函數的簡圖？

正切函數圖象的簡單作法：三點兩線法

（0，0）、（π4，1）、-π4，-1

“三點”：

x=π2和x=-π2

“兩線”：

設計意圖：在學生自主探究、合作交流的基礎上，借助于單位圓作出了較為精確的正切函數圖像，但在利用函數圖像解決問題時，這樣作圖既費神又費力。所以教學中類比正余弦函數圖像簡圖的作法，教師引導學生利用三點兩線法快速作出正切函數的簡圖，從而解決相關問題。

2.3通過練習，鞏固基礎

若-π6

例2.求出滿足條件 tanx≥3 的x的取值范圍？

思考題：畫出函數y=tanx的圖象，探究該函數的定義域、值域、最小正周期、奇偶性、單調區間和對稱性。

設計意圖：在課堂教學中，數學教學不是“結果”的教學，而是“思維活動過程”的教學，通過前面問題的提出過程，知識的獲取過程，結論的探究過程，認識的升華過程以及分析、解決問題的艱難曲折思維過程后，接下來讓學生借助于研究好的圖像和性質利用數形結合思想解決相關問題，及時了解學生課堂中知識掌握的情況。正是有了前面的一系列的教學過程，學生自己思考得多，通過自己探究獲取的知識掌握得很好，所以學生就能利用所學的知識，快速地解決相關的問題。

2.4總結思考，提高能力

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結。

（1）學習了正切函數圖像的作法；理解了正切函數的圖像特征；掌握正切函數的基本性質。

（2）學會用類比方法研究問題，滲透數形結合的思想。

（3）體驗了成功的快樂。

設計意圖：整堂課已經接近尾聲，筆者也想了解一下學生在這堂課中收獲和體會。筆者隨機叫了兩名同學進行了課堂小結。其中一名男生回答說：“在接觸一個新函數時，可以嘗試回憶學過的已有函數，看看能不能利用類比的思想解決一類問題，然后大膽去猜想、論證?！绷硗庖幻f：“通過這節課的學習，使她明白了合作、交流，自主探究的魅力。也明白了可以多角度地去研究函數問題：數形結合不僅僅是從形到數的研究，也可以換個角度從數到形來研究，為我們研究數學問題提供了新視角?！苯淌依镱D時響起了雷鳴般的掌聲，這是我事先沒預料到的，也充分說明筆者這節課上得非常成功。學生通過自主思考、合作探究的成效是顯著的！

2.5分層作業，鞏固拓展

（1）全體同學完成作業本；

（2）每位同學結合今天研究的內容，設計一道回家作業題，并完成。

3案例反思

對相同的教學內容不同的教師處理教材的方法可能也不一樣。這些不同，緣于教師對教材的理解與處理、對學生原有認知結構的認識以及對教學實際的把握；也緣于教師教學風格的不同。這節課表面看看很簡單，內容也不多，前面又有了正余弦函數研究的鋪墊，上起來應該不難。但專家點評說這節課要把它上好是非常難的，很容易上成一節流水課，沒有什么新意。而且這堂課實際上是高中教材中很難啃的一塊骨頭。不過專家對筆者的這堂課給予了高度的肯定和贊賞，認為筆者很好的實施了新課程理念，課堂中讓學生共同探討，讓學生自己去發現問題、解決問題。對學生核心數學思想的提升有很大的幫助。同時處處保持互動，以學生為本，充分發揮和挖掘學生的潛能。同時肯定筆者具有很好的數學素養！通過課后與同行交流、聆聽專家點評后，筆者更深刻地認識到數學教育要彰顯出學生的主體性地位。如果教師提出問題后就講個不停，這樣只能用教師的思維，或少數幾個被提問學生的思維填補其它大多數學生的思維，這樣的結果是強迫學生接受，破壞了思維活動的自主性、獨立性，有礙于學生思維的發展。課堂教學中要充分尊重學生的思維活動過程，讓其暴露出來，即使思維過程是錯誤的甚至是可笑的，但這實際是存在的，不可以視而不見。教師需要根據不同的教學內容，指導學生靈活采用接受、記憶、模仿、練習、自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學的學習方式；在教學中，可以借助信息技術，提高課堂容量，把難以呈現的數學本質揭示出來，也可以用數學實驗讓學生體驗知識形成的過程。要以“教給學生什么、怎樣教給學生”為立足點，踐行新課程的教育理念，開展有效的教學活動。

感謝“聚焦課堂 高效教學研究月”的活動，使筆者從理論到實踐對數學教學都有了更新的認識。在今后的教學中，筆者將切實地尊重學生的主體地位，踐行新課程理念，扮演好引導者、組織者、合作者的角色。

參考文獻：

＼[1＼]普通高中數學課程標準（實驗）＼[S＼].北京：人民教育出版社，2003.

＼[2＼]李昌官.數學優秀課成長的基礎、過程與方法.高中數學教與學，2010.