學做創(chuàng)·玩幾何

陳軍 盧建華

【課例回放】

一、問題驅動，提出猜想

師：魔方中蘊含著神奇的幾何知識，想一探究竟嗎？

教師依次出示圖片，并詢問體積大小（如下圖所示，每個小魔方體積為1 cm3）

師：要想知道長方體體積是多少，只要——

生：看長方體包含多少個體積單位。

師：能一下子說出這個正方體的體積嗎？（如右圖所示）

生：5×5×5=125 cm3。

師：猜想一下，長、正方體的體積可能與什么有關？什么關系？

生：與它的棱長有關，長方體體積=長×寬×高，正方體體積=棱長×棱長×棱長。

師：是這樣嗎？我們一起來研究。

二、實驗驗證，建立模型

師：拿出準備的1 cm3小魔方，分組實驗。

實驗一：用12個1 cm3小魔方拼成形狀不同的長方體，驗證長方體體積與長、寬、高之間的關系。看誰拼的方法多？

實驗二：選若干個1 cm3小魔方拼成形狀不同的長、正方體，思考如何計算長、正方體體積？如有困難，一起討論。

教師巡視，參與合作，啟發(fā)引導，調控進程。操作實驗二時，有學生舉手。

師：有什么問題嗎？

生：我們組想拼一個大一點的長方體，可小魔方個數不夠。

師：不夠？那怎么辦呢？

生：兩個小組合用。

生：我們想拼一個很大的長方體，兩個小組合起來也不夠。

師：那該怎么辦？動腦再想想？

師：誰愿和全班同學交流一下長方體體積和長、寬、高的關系？

生：我們發(fā)現長就是每排塊數，寬就是排數，高就是層數。長方體體積就是體積單位的個數，長方體的體積=長×寬×高。（表略）

生：正方體棱長都相等，因此，正方體的體積=棱長×棱長×棱長。

生：用字母表示——V=abh，V=a3。

生4：我們還發(fā)現——長方體體積=底面積×高。（推理如右圖所示）

師：老師很想知道，剛才有同學說小魔方不夠，怎樣解決的？

生：我們把一些位置空出來，但在大腦中創(chuàng)造一個完整的長方體。（如圖所示）

三、拓展應用，解決問題

小達想用一塊長10 cm、寬8 cm的長方形紙板做一個無蓋盒子（不考慮接縫）。如果按照右圖那樣切掉4塊相同的小正方形，再沿虛線折疊即可。但這樣浪費了4塊小紙板。如果不浪費材料，可把原紙板進行切割，再折疊成一個無蓋盒子。

請你幫他設計制作圖，并標出相關數據。比一比，看誰設計的盒子體積最大？

師：誰愿向全班同學介紹一下你的創(chuàng)意？盒子的體積是多少？

全班出現多種意想不到的創(chuàng)意（如下圖所示）。

【透視解析】

一、以經驗為基礎，在游戲中學習，為課堂增添活力

學習者已經知道的即為經驗，它是兒童認知的基礎。課程標準把“幾何課程”先后更名為“空間與圖形”“圖形與幾何”，其實也是幾何學科體系對兒童經驗的適度妥協(xié)。因為“經驗”是有力量的，經驗的積聚可有效增添認知活力。兒童的思維正處在由直觀形象為主向抽象邏輯為主的過渡階段，這與人們最早在生活實踐中認識幾何圖形的過程相一致。借助觀察、感知、操作、思考，研究現實生活中物體幾何屬性與變換，以圖形為重點，知覺其方向、距離、大小、形狀等元素，能有效激活兒童大腦中的經驗儲備，對接生活經驗與學科知識，在空間直覺基礎上形成大腦表象，主動建構對客觀圖形世界的認識。課例中，教師充分認識到幾何知識來源于豐富的現實原型，基于兒童現實經驗來設計教學活動。魔方中既有長方體也有正方體，可拆可裝、可拼可組。本是玩具，借作學具，順應了兒童的天性。

二、以操作為核心，在思考、操作中體顯張力

學生學習幾何，并不是一味識記圖形的名稱、形狀、性質、公式，而是通過具體的操作活動去感知、發(fā)現，最終建構正確的空間形式和關系。因此，空間觀念的建立只靠觀察是不夠的，還必須進行具體的操作活動，在搭、折、剪、拼、量、做、畫等過程中，視覺、聽覺、觸覺等多種感官配合大腦思考全方位協(xié)同運作，形成相應的空間表象，完成對具體對象的抽象，建立和發(fā)展空間觀念。課例中，教師順應兒童愛玩好動的天性。設計兩個層次實驗，一是拼指定體積形狀不同的長方體，驗證猜想，初步建立公式模型；二是自選小正方體個數拼體積不同的長方體，進一步深化對模型關系的認識。開放的空間、時間，顯得韌性而有張力。因為學生獲得知識的過程不是一蹴而就的，需要在反復實踐中不斷修正、深化。兩次動手實驗，學生的思維不斷地向縱深處漫溯，有效地發(fā)展空間觀念。

三、以想象為關鍵，在操作中發(fā)展?jié)摿?/p>

想象是數學思維的基本要素，是數學認知活動中的重要環(huán)節(jié)。各種數學新觀念的產生過程，或多或少都有想象的介入。學生通過想象能直接、有效地獲得圖形的形狀、大小、位置、距離的表象，在大腦中建立沒有大小的點、沒有粗細的線、沒有厚薄的面等概念表征。幾何學習活動中，空間想象是兒童重要的學習方式，是其發(fā)展空間思維、建立空間觀念的關鍵因素。課例中，教師讓學生經歷觀察、操作、思考，建立體積公式模型，想象形影不離地伴隨左右。操作中，教師捕捉到“拼一個大長方體，小魔方不夠用”這一極有價值的生成性資源，適時介入，引導交流，激活思維，學生竟然聯想到把一些位置空出來，在大腦中創(chuàng)造一個完整的大長方體，很好地發(fā)展了空間想象能力與抽象能力。

四、以推理為渠道，在愉快的創(chuàng)造中提升學力

推理是學習和生活中經常使用的思維方式，也是數學的基本思維方式，推理能力的發(fā)展貫穿于整個數學學習的全過程。小學生的幾何學習中，有合情推理也有演繹推理，二者相輔相成。從已有事實出發(fā)，憑借經驗、直覺，通過歸納、類比等推斷體積公式模型屬合情推理，而運用體積公式解決實際問題屬演繹推理。小學生幾何學習過程中的推理很大程度上是依賴直觀而展開的，其幾何推理能力主要是在圖形的變換、轉化等過程中得到發(fā)展的。課例中，教師引導學生在觀察、操作、想象、推理交流中，通過比較、分析、抽象、概括、歸納、類比等活動，建構體積公式模型，發(fā)展空間觀念。應用環(huán)節(jié)，教師又精心設計開放性問題情境，讓學生幫小達設計長方體盒子制作圖，嘗試用二維平面圖形刻畫三維立體圖形，在二維平面圖形轉化為三維立體圖形的過程中，學生再次經歷觀察操作、想象推理、表達交流，感知體驗圖形與幾何的現實意義，建立并發(fā)展空間觀念。比一比誰設計的盒子體積最大，充分激發(fā)學生的聰明才智，在更廣闊的空間里促進學生個性化思考與探索。

（作者單位：江蘇省淮安市浦東實驗學校 江蘇省淮安市人民小學 本專輯責任編輯：王彬）