“平行四邊形與梯形”教學(xué)中的相異構(gòu)想及其轉(zhuǎn)變

丁杭纓

知道學(xué)生已經(jīng)掌握哪些數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不是最重要的，因?yàn)槟鞘侵R(shí)的邏輯起點(diǎn)，書(shū)上有章可循；學(xué)生頭腦中形成的對(duì)數(shù)學(xué)概念的看法觀點(diǎn)和思維方式是關(guān)鍵也是最難以被發(fā)現(xiàn)的，西方學(xué)者稱(chēng)之為“前概念”，前概念有時(shí)和正確（科學(xué)）概念并無(wú)沖突，有時(shí)則與正確認(rèn)識(shí)和思維方式大相徑庭，這種偏離或背離正確概念的錯(cuò)誤思維結(jié)構(gòu)即“相異構(gòu)想”，它會(huì)阻礙學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，干擾學(xué)生后繼形成的正確觀念，對(duì)學(xué)習(xí)的影響是消極的。教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)前的首要任務(wù)是廣泛了解學(xué)生關(guān)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的形形色色的相異構(gòu)想，分析其背后的原因并從中找到規(guī)律性的東西，然后重組教材，通過(guò)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略對(duì)相異構(gòu)想進(jìn)行補(bǔ)充、修正，促進(jìn)知識(shí)的逆向遷移，真正體現(xiàn)“以學(xué)定教”的思想。

本文選擇人教版四年級(jí)上冊(cè)第四單元“平行四邊形與梯形的認(rèn)識(shí)”為例的原因，是很多教師覺(jué)得這節(jié)課比較尷尬：一方面，三年級(jí)上時(shí)已經(jīng)借助分類(lèi)初步認(rèn)識(shí)四邊形、平行四邊形，通過(guò)周長(zhǎng)的計(jì)算對(duì)長(zhǎng)方形和正方形的邊長(zhǎng)特征記憶深刻；另一方面，本節(jié)課平行四邊形與梯形、四邊形的關(guān)系，平行四邊形易變形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)，應(yīng)該如何把握知識(shí)的前聯(lián)后延？哪些問(wèn)題會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙？例1和例2的內(nèi)容怎么整合？學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)如何理清？

解決上述問(wèn)題的唯一途徑是摸清學(xué)生關(guān)于梯形和平行四邊形知識(shí)的相異構(gòu)想會(huì)有哪些？要比較全面清楚地知道學(xué)生的相異構(gòu)想需要用到更科學(xué)的手段，下面是關(guān)于“平行四邊形與梯形”的問(wèn)卷設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)說(shuō)明（參與調(diào)查的是三年級(jí)下的67名學(xué)生）。

1.在格子圖中畫(huà)出你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的平面圖形，并標(biāo)上它們的名稱(chēng)。

64%的學(xué)生畫(huà)出5個(gè)以上圖形，其中包括梯形、菱形；36%的學(xué)生畫(huà)出的圖形個(gè)數(shù)少于4個(gè)，且不知道梯形、菱形。

2.如果要把你剛才畫(huà)的所有圖形分類(lèi)，你會(huì)分幾類(lèi)？這樣分的理由是什么？每一類(lèi)里分別有哪些圖形？

3.你能說(shuō)清楚長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、四邊形，四者之間的關(guān)系嗎？（可以用文字，也可以用圖表示）

18%的學(xué)生能用圖式表示四者之間的關(guān)系，其中正確率為83%；12%的學(xué)生用文字表述“正方形、長(zhǎng)方形、平四邊形都是特殊的四邊形”等含義；剩下70%的學(xué)生無(wú)從表達(dá)，強(qiáng)調(diào)了4條邊4只角，其中有2位學(xué)生回答“正方形和長(zhǎng)方形拉一下就變成平行四邊形”。

4. 4根一樣長(zhǎng)的小棒圍四邊形，盡可能多地畫(huà)出它們的樣子（草圖）。

60%的學(xué)生畫(huà)了正方形或一種（角度為60°與120°）菱形，少見(jiàn)其他形狀的菱形；剩下40%的學(xué)生除了正方形，還畫(huà)出了梯形、長(zhǎng)方形和鄰邊不相等的平行四邊形。

5.你認(rèn)識(shí)下面的圖形嗎？請(qǐng)寫(xiě)出它們的名稱(chēng)。

它們相同的地方有（ ）。

6.第4題中兩個(gè)圖形怎樣改才能成為平行四邊形？（直接畫(huà)在原圖上）

仔細(xì)觀察，你能找到修改前和修改后兩個(gè)圖形的相同地方有（ ）；不同的地方有（ ）。

85%的學(xué)生能完全正確地通過(guò)添加或切割的方法把梯形改成平行四邊形；修改前后兩個(gè)圖形的相同點(diǎn)：61%的學(xué)生認(rèn)為4條邊和4個(gè)角，剩下的就是空白或其他；不同的地方：31%學(xué)生認(rèn)為兩圖形樣子不同，68%的學(xué)生沒(méi)有答案，一個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“修改后對(duì)稱(chēng)的邊是平行的”。

不難發(fā)現(xiàn)，三年級(jí)的學(xué)生對(duì)平行四邊形和梯形的認(rèn)識(shí)帶有表面性、片面性、主觀性且自我中心化的特點(diǎn)，所形成的相異構(gòu)想存在“幾類(lèi)概念之間混淆，概念內(nèi)涵模糊不全面，錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)概念的外延”的共性，具體表現(xiàn)為以下5個(gè)方面：1.觀察圖形時(shí)形成比較固定的思維方式即以邊的條數(shù)和角的個(gè)數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，不能從其他角度思考（不排除平行與垂直的知識(shí)點(diǎn)還未學(xué)過(guò)的因素）；2.不會(huì)主動(dòng)把平行四邊形和梯形建立聯(lián)系，就單個(gè)圖形孤立討論，不習(xí)慣在比較中建構(gòu)新知；3.梯形的表象比較單一，對(duì)類(lèi)似第5題中第2個(gè)圖形的表象很模糊，抓不準(zhǔn)梯形的主要特征；4.平行四邊形易變形的理解局限在能否拉動(dòng)，不能從數(shù)學(xué)角度體會(huì)易變形的內(nèi)涵；5.關(guān)于四邊形的空間觀念的建立比較單薄、孤立，不能從運(yùn)動(dòng)變化等多角度建構(gòu)四邊形的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

基于上述分析，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)可從以下三方面展開(kāi)：

1.重組教材，關(guān)注知識(shí)的前聯(lián)后延。傳統(tǒng)的課時(shí)劃分是以完整的一個(gè)例題作為一課時(shí)，學(xué)生在第一課時(shí)中認(rèn)識(shí)平行四邊形和梯形，平行四邊形的易變形則在第二課時(shí)與平行四邊形、梯形的高同時(shí)呈現(xiàn)，這樣劃分存在一些不合理的地方，即學(xué)生對(duì)平行四邊形概念的外延認(rèn)識(shí)是殘缺的，人為地割裂使知識(shí)的建構(gòu)不夠完善。因此，可以在尊重教材基礎(chǔ)上靈活安排，把平行四邊形的易變形內(nèi)容乃至梯形的分類(lèi)提前至第一課時(shí)，便于學(xué)生在深刻理解平行四邊形的基礎(chǔ)上比較全面地架構(gòu)四邊形的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，第二課時(shí)則關(guān)注兩種圖形的底與底所對(duì)應(yīng)的高，重技能和各類(lèi)四邊形的聯(lián)系變化等知識(shí)的拓展。

2.厘清重點(diǎn)、難點(diǎn)，修正學(xué)生的認(rèn)知方式。教學(xué)目標(biāo)固然是課堂學(xué)習(xí)的目的，但很多時(shí)候目的會(huì)停留于形式，教學(xué)目標(biāo)有效性的標(biāo)志是厘清學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。一般情況下，學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)各自獨(dú)立存在，難得交織在一起；學(xué)習(xí)重點(diǎn)往往指向知識(shí)技能，而學(xué)習(xí)難點(diǎn)則針對(duì)學(xué)生的思維水平，如過(guò)程與方法的體驗(yàn)、思維方式的提升。因此，這節(jié)課的重點(diǎn)確定為“在比較中建立平行四邊形及梯形的概念，正確表達(dá)各類(lèi)四邊形的關(guān)系，從數(shù)學(xué)的角度理解平行四邊形易變形的特性”；難點(diǎn)則是“打破原有思維定勢(shì)，從邊的位置關(guān)系重構(gòu)認(rèn)識(shí)平面圖形的視角，從數(shù)和形的結(jié)合豐富四邊形的空間觀念”。值得說(shuō)明的是，每節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)并不是只有一種標(biāo)準(zhǔn)答案，而是和所教學(xué)生的相異構(gòu)想密切相關(guān)。

3.轉(zhuǎn)變相異構(gòu)想，促進(jìn)知識(shí)的逆向遷移。相異構(gòu)想的轉(zhuǎn)變一般要滿足4個(gè)條件：對(duì)現(xiàn)有概念不滿、新概念的可理解性、新概念的合理性、新概念的有效性，因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)可以分環(huán)節(jié)突破。

環(huán)節(jié)1：通過(guò)認(rèn)知沖突找準(zhǔn)概念轉(zhuǎn)變的起點(diǎn)。

【環(huán)節(jié)流程】回憶三年級(jí)已經(jīng)認(rèn)識(shí)的四邊形→學(xué)生嘗試在點(diǎn)子圖上畫(huà)幾個(gè)不一樣的四邊形，分別說(shuō)出它們的名稱(chēng)→觀察并分析平行四邊形和梯形的最大不同點(diǎn)→如何判斷梯形一組對(duì)邊平行、平行四邊形兩組對(duì)邊平行→熟讀書(shū)上關(guān)于平行四邊形和梯形的定義。

【環(huán)節(jié)說(shuō)明】認(rèn)知沖突是概念轉(zhuǎn)變過(guò)程的起點(diǎn)，做到這點(diǎn)很棘手，因?yàn)閷W(xué)生不會(huì)自覺(jué)地認(rèn)識(shí)到自己原有的平行四邊形和梯形的概念有不足，所以教師要千方百計(jì)嘗試不同的方法讓學(xué)生體會(huì)到原有概念的缺陷。方法1——點(diǎn)子圖，它的最大作用不僅僅是便于學(xué)生比較準(zhǔn)確地畫(huà)圖，更有利于學(xué)生迅速發(fā)現(xiàn)并抓住平行四邊形和梯形邊的特點(diǎn)。點(diǎn)子圖把點(diǎn)、線、面關(guān)聯(lián)起來(lái)。方法2——平行相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用，改變?cè)幸赃吔菫闃?biāo)準(zhǔn)的判斷方式，比較迅速地揭示平行四邊形和梯形的特征，平行的判斷把新、舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，并改變?cè)械乃季S方式。

環(huán)節(jié)2：新舊知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的雙向作用充實(shí)或改造原有知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

【環(huán)節(jié)流程】先說(shuō)說(shuō)每個(gè)圖形的名稱(chēng)及特點(diǎn)，然后判斷是否是軸對(duì)稱(chēng)圖形，試著畫(huà)出其中的一條對(duì)稱(chēng)軸→反饋（重點(diǎn)：菱形、直角梯形、等腰梯形的認(rèn)識(shí)，正方形、長(zhǎng)方形、等腰梯形、菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，而一般的四邊形、平行四邊形，除等腰梯形外的其他梯形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形）。

【環(huán)節(jié)說(shuō)明】學(xué)生知道了平行四邊形和梯形的定義并不表示他們已經(jīng)掌握了概念，需要盡可能讓學(xué)生經(jīng)歷“在原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上理解新知—根據(jù)新經(jīng)驗(yàn)對(duì)原有知識(shí)體系作出調(diào)整和改造”兩方面統(tǒng)一的過(guò)程。環(huán)節(jié)2借助軸對(duì)稱(chēng)圖形的判別，使新舊知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的雙向作用充實(shí)或改造原有知識(shí)網(wǎng)絡(luò)成為可能。軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)平行四邊形和梯形乃至其他四邊形的特征認(rèn)識(shí)起到了螺旋推進(jìn)的作用，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)在學(xué)習(xí)中得到了前聯(lián)與后延。

環(huán)節(jié)3：讓學(xué)生不斷經(jīng)歷診斷、修正、解釋?zhuān)菪凉u進(jìn)地促進(jìn)相異構(gòu)想的轉(zhuǎn)變。

【環(huán)節(jié)流程】想一想、畫(huà)一畫(huà)，4根相等的小棒能?chē)墒裁磮D形→觀察這兩個(gè)圖形的區(qū)別，解析符合條件的菱形的不同形狀→兩兩相等（兩根相等、兩根不等）的4根小棒可能?chē)傻乃倪呅涡螤睢〗Y(jié)整理各類(lèi)四邊形之間的邏輯關(guān)系（如圖1所示）→知識(shí)的判別與應(yīng)用（如圖2所示）。

【環(huán)節(jié)說(shuō)明】有效的學(xué)習(xí)一定表現(xiàn)為積極性的、建構(gòu)性的、累積的、目標(biāo)指引的、診斷的、反思的。在環(huán)節(jié)3中，小棒的出現(xiàn)使圖形的認(rèn)識(shí)不僅僅局限在單一的形上，量的變化引起的形的變化更有利于學(xué)生多角度把握知識(shí)，小棒把數(shù)與形聯(lián)起來(lái)；改變條件使圖形之間發(fā)生轉(zhuǎn)變，能進(jìn)一步深化對(duì)圖形特征的掌握，而且更有利于整體把握知識(shí)的脈絡(luò)，從而形成知識(shí)的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，條件的改變讓形與形聯(lián)系起來(lái)。同時(shí)，多次想象與繪畫(huà)使學(xué)生不斷地對(duì)已經(jīng)建立的平行四邊形和梯形的概念進(jìn)行診斷、修正與解釋?zhuān)Y(jié)合數(shù)據(jù)建立的空間觀念不再是縹緲的。這個(gè)環(huán)節(jié)教師還把一些具體的認(rèn)知策略（如復(fù)述、分類(lèi)、做小結(jié)、列提綱、畫(huà)示意圖）滲透在學(xué)習(xí)內(nèi)容中教給學(xué)生，強(qiáng)化學(xué)生的反思意識(shí)與習(xí)慣。

（作者單位：浙江省杭州市長(zhǎng)壽橋小學(xué)教育集團(tuán)長(zhǎng)青分校）