高中物理天體運動的計算

呂吉昌

天體運動是高中物理教學中非常重要的部分，但這一類的知識又是非常抽象的，這類知識在現代科技中有非常重要的運用。在高中物理中，這類知識的學習，關鍵在于掌握其規律，把它歸入“力和運動”大類中，運用物理學中圓周運動的知識，建立“理想化模型”進行研究。

關于天體運動的計算，我們可以歸納出這樣幾種典型問題：1.重力加速度的計算；2.中心天體質量的計算；3.第一宇宙速度的計算；4.中心天體密度的計算；5.周期與時間計算。

一、規律匯總

（1）近地衛星問題：重力提供向心力

（2）同步衛星問題：萬有引力提供向心力

（3）赤道物體問題萬有引力與地面的支持力（大小等于重力）的合力提供向心力

二、例題解讀

題型一：測量中心天體的質量和密度

開普勒行星運動第三定律指出，行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉周期T的二次方成正比，比例常數是一個對所有行星都相同的常量。將行星繞太陽的運動按照圓周運動處理，

（1）請推導出太陽系中該常量k的表達式。已知引力常量為G，太陽的質量為M。

（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統（如地月系等）都成立，經測定地月距離為3.8×108m，月球繞地球運動的周期為2.36×106s，試計算地球的質量M地（G=6.67×10-11Nm/kg2，結果保留一位有效數字）。

解：（1）因行星繞太陽做圓周運動，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r，根據萬有引力定律和牛頓第二定律可知

題型二：衛星的穩定運行與變軌運動分析

2010年10月26日21時27分，北京航天飛行控制中心對“嫦娥二號”衛星實施了降軌控制，衛星成功由軌道半徑為a、周期為T1的極月圓軌道進入遠月點距離為a、周期為T2的橢圓軌道，為在月球虹灣區拍攝圖像做好準備，軌道如圖所示。則“嫦娥二號”（ ）

A.在極月圓軌道上運行周期T1小于它在橢圓軌道運行周期T2

B.經過極月圓軌道上B點的速率大于它經過橢圓軌道上A點時的速率

C.經過極月圓軌道上B點與它經過橢圓軌道上A點時的加速度相等

D.經過極月圓軌道上B點與它經過橢圓軌道上A點時的機械能相等

解答：由開普勒第三定律可知，從極月圓軌道到橢圓軌道周期變小，A錯誤；極月圓軌道上的A點和B點速率相同，由極月圓軌道A點變為橢圓軌道上的A點時要減速，B正確，D錯誤；在橢圓軌道上經過A點和在極月圓軌道上經過A點時加速度運用萬有引力定律可知大小相等，所以，經過極月圓軌道上的B點和橢圓軌道上的A點時加速度大小相等，C正確。

題型三：雙星系統分析

所謂雙星系統是指在宇宙中往往會有相距較近，質量差不多的兩顆星球，它們離其他星球都較遠，因此，其他星球對它們的萬有引力可以忽略，在這種情況下，它們將圍繞它們連線上的某一固定點做同周期的勻速圓周運動。解決這類問題的關鍵是抓住雙星的角速度（周期）相等，繞行的向心力大小相等及雙星間的距離和軌道半徑的幾何關系，可以概括為“四個相等”，即向心力、角速度、周期相等、軌道半徑之和等于兩星間距，然后運用萬有引力定律和牛頓第二定律求解。

例如：經過天文望遠鏡的長期觀測，人們在宇宙中已經發現了許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙中的物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統由兩個星體組成，其中每個星體的線度遠小于兩個星體之間的距離。雙星系統一般距離其他星體很遠，可以當做孤立系統處理。現根據對某一雙星系統的光學測量確定，該雙星系統中每個星體的質量都是M，兩者間距為L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動。試計算該雙星系統的周期。

（作者單位 西藏自治區日喀則地區上海實驗學校）