楊輝三角與高階等差數(shù)列的求和

李學(xué)雷

摘 要：如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)減去它前面的一項(xiàng)所得的差都相等，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。但對(duì)于某些數(shù)列而言，這樣得出來的差并不相等，而是構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，就把它叫做二階等差數(shù)列。如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)同它的前一項(xiàng)的差構(gòu)成一個(gè)二階等差數(shù)列，便叫做三階等差數(shù)列。這個(gè)定義很自然可以推廣到一般的情形：設(shè)r是一個(gè)正整數(shù)，所謂r階等差數(shù)列就是這樣的數(shù)列，它的各項(xiàng)同它的前一項(xiàng)的差構(gòu)成一個(gè)r-1階等差數(shù)列。二階以上的等差數(shù)列稱為高階等差數(shù)列。

關(guān)鍵詞：楊輝三角；等差數(shù)列；論證；求和

我們都知道，如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)減去它前面的一項(xiàng)所得的差都相等，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。但對(duì)于某些數(shù)列而言，這樣得出來的差并不相等，而是構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，那么我們就把它叫做二階等差數(shù)列。列成算式來說，二階等差數(shù)列就是要符合條件：（a3-a2）-（a2-a1）=（a4-a3）-（a3-a2）=（an-an-1）-（an-1-an-2）的數(shù)列，而這里的a1，a2，…an分別是這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，……第n項(xiàng)，同樣，如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)同它的前一項(xiàng)的差構(gòu)成一個(gè)二階等差數(shù)列，便叫做三階等差數(shù)列。這個(gè)定義很自然可以推廣到一般的情形：設(shè)r是一個(gè)正整數(shù)，所謂r階等差數(shù)列就是這樣的數(shù)列，它的各項(xiàng)同它的前一項(xiàng)的差構(gòu)成一個(gè)r-1階等差數(shù)列。二階以上的等差數(shù)列我們稱為高階等差數(shù)列。

我們都熟悉等差數(shù)列的求和公式，這里我們要利用楊輝三角來討論一般的高階等差數(shù)列的求和。首先觀察楊輝三角：

（1）

這些等式的正確性可以從楊輝三角中直接看出來，因?yàn)闂钶x三角的基本性質(zhì)是：其中任一數(shù)等于它左右肩上的兩個(gè)數(shù)的和。我們從圖中一個(gè)確定的數(shù)開始，它是它左右肩上的兩個(gè)數(shù)的和，然后把左肩固定，再考慮右肩，它又是其左右兩肩上的兩個(gè)數(shù)的和。這樣推上去，總之把左肩固定，而對(duì)右肩運(yùn)用這個(gè)規(guī)則，最后便得出：從一數(shù)的“左肩”出發(fā)，向右上方作一條和左斜邊平行的直線，位于這條直線上的各數(shù)的和等于該數(shù)。例如，圖中的數(shù)10的左肩是4，過數(shù)4向上一條和左斜邊平行的直線，這條直線上的數(shù)有4，3，2，1那么10=4+3+2+1。

用數(shù)學(xué)歸納法來證明恒等式（1）也是不困難的。不過得首先說明一點(diǎn)：在數(shù)學(xué)歸納法原理中，如果把條件（1）中的n=1改成n=a（a是一個(gè)確定的正整數(shù)），而條件（2）對(duì)于任一大于或等于a的正整數(shù)，n都是正確的。現(xiàn)在我們就在作了這樣說明的基礎(chǔ)上對(duì)恒等式（1）中的n實(shí)行歸納法，當(dāng)n=r+1時(shí)，（1）式的左邊是1，而右邊是Cr+1r+1=1，所以是正確的。又假定（1）式對(duì)n=k（k>1）正確，即

例 求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。

這個(gè)結(jié)果就是我們所熟悉的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。

參考文獻(xiàn)：

華羅庚.從楊輝三角談起.人民教育出版社，1962.

（作者單位 云南省雙江縣第一完全中學(xué)）