二項式定理在解決數列問題中的應用

鐘曉慶

二項式定理涉及項數、系數、指數等方面的規律和聯系.一般來說，解決二項式定理問題相對獨立，主要包括求展開式中的相關項，求二項式系數或系數和，系數的最大項，處理整除問題以及簡單的放縮法證明等等.我們會發現，這類問題往往與數列的思想方法密切關聯，本文結合具體例題加以分析，以進一步促進學生思維的靈活性，透徹地理解知識間的內部聯系，這也是高中數學的基本要求之一.

上述解法用了數列中我們經常使用的“倒序相加法”，組合數前的系數滿足等差數列的特征，又因為組合數的對稱性Cmn=Cn-mn，因此我們聯想到等差數列{an}具有的性質：若m+n=p+q則am+an=ap+aq，由此結合這兩個性質，符合了數列中用“倒序相加法”來求和的相關特點，從而順利解答此類問題.我們回顧例1可發現，其實亦可用此法解決，只是因為系數是公差為1的等差數列，又正好可以看做xn的指數，所以也可用求導的方式解決.

本題以二項式系數為背景，第一小問仍是研究通項，第二小問與等差數列相結合，屬于存在性問題，但研究的是所有存在的情況，利用求根公式探究n存在形式的特點，最終根據范圍找出所有取值情況及個數，知識融合度高，處理方式較為靈活.

上述解題實際上是二項式定理的逆用，事實上觀察二項式展開后的結構特征，會發現跟等比數列聯系較大，當x=1時，An的化簡用了數列中“倒序相加”的方式，推廣可得，對任意一個等差數列 {an}，形如a1C0n+a2C1n+a3C2n+…+an+1Cnn的代數式都可以用“倒序相加法”結合組合數的對稱性Cmn=Cn-mn解決.

綜上所述，二項式定理作為選修內容的重點，是高考中的難點，這部分內容除了對基本題型要熟練掌握外，還需透徹地理解思想方法，它與數列的綜合應用也是值得我們多探究多深入思考的課題.

（作者單位 江蘇省海門實驗學校）