淺談數(shù)學(xué)分析對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用

原春麗

【摘要】在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)分析有著極其重要的指導(dǎo)效能。運(yùn)用數(shù)學(xué)分析法來解答問題可以把那些比較抽象和復(fù)雜的運(yùn)算公式給避開，對(duì)解題過程進(jìn)行了優(yōu)化，適當(dāng)降低了數(shù)學(xué)解題的難度，有利于幫助學(xué)生找到一條解題的捷徑。本文就從一些具體的實(shí)例出發(fā)，談一談數(shù)學(xué)分析對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用，以期能夠?yàn)閺V大中學(xué)生帶來一些幫助。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析 中學(xué)數(shù)學(xué) 指導(dǎo)作用

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）07-0115-01

當(dāng)前，在中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中，受限于知識(shí)的局限性，許多中學(xué)生在解答一些抽象以及復(fù)雜的數(shù)學(xué)題時(shí)往往會(huì)陷入一個(gè)困境當(dāng)中，在理解一些基本概念時(shí)也會(huì)茫然失措，顧此失彼。而利用數(shù)學(xué)分析就可以把這些難題進(jìn)行完滿解決。數(shù)學(xué)分析是一門來源于實(shí)踐又在實(shí)踐中直接運(yùn)用的學(xué)科，在教材中有大量利用數(shù)學(xué)分析的知識(shí)范例，學(xué)生對(duì)這些范例進(jìn)行學(xué)習(xí)，就會(huì)增強(qiáng)自身的應(yīng)用意識(shí)，使自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提高。由此可見，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)分析有著很強(qiáng)的指導(dǎo)作用，在解題的過程中合理運(yùn)用數(shù)學(xué)分析就顯得非常重要。

一、數(shù)學(xué)分析和中學(xué)數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)分析是在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上形成起來的。數(shù)學(xué)分析的一些概念如數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)、數(shù)學(xué)積分以及無窮級(jí)數(shù)的收斂等都是在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)中演變而來。一些中學(xué)代數(shù)和幾何無法解決的問題運(yùn)用數(shù)學(xué)分析就能夠有效解決出來，從這一點(diǎn)上來看，數(shù)學(xué)分析是為了解決中學(xué)數(shù)學(xué)中不能夠解決的問題而逐漸發(fā)展形成的。數(shù)學(xué)分析對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究是在實(shí)數(shù)范圍之內(nèi)進(jìn)行的，在數(shù)學(xué)分析中，實(shí)數(shù)理論是基礎(chǔ)。通常情況下，實(shí)數(shù)一般分為兩種，一種是有理數(shù)，一種是無理數(shù)。然而中學(xué)數(shù)學(xué)無法回答出無理數(shù)的一些問題，如無理數(shù)有沒有大量存在著？這些問題就可以通過數(shù)學(xué)分析來進(jìn)行完美的解答。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)也是比較重要的內(nèi)容，而數(shù)學(xué)分析是對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究的。中學(xué)數(shù)學(xué)主要是對(duì)函數(shù)的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)以及概念圖像來進(jìn)行研究，在課文中討論的內(nèi)容也只是局限在函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域、坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及極值上，在研究方式上主要是依照把函數(shù)的定義給出來，運(yùn)用式子的恒等變形，經(jīng)過對(duì)方程式進(jìn)行解答來進(jìn)行探討的。這就有著非常大的限制性，在學(xué)習(xí)的時(shí)候還要求學(xué)生掌握一些技巧，這就在無形之中給函數(shù)的研究增添了許多困難。而如果運(yùn)用微積分去進(jìn)行研究，函數(shù)的解答就會(huì)有一個(gè)簡(jiǎn)單易行的方法。同時(shí)，方程和不等式也是中學(xué)數(shù)學(xué)中比較重要的內(nèi)容。中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)方程和不等式進(jìn)行求解時(shí)有很多局限性，需要有一定的技巧才能進(jìn)行求解。用數(shù)學(xué)分析來解方程和不等式只要把函數(shù)的零點(diǎn)或者是兩條曲線的交點(diǎn)進(jìn)行解答就可以了。除此之外，數(shù)學(xué)分析也是和幾何問題有著緊密的聯(lián)系，幾何中任意曲線的切線以及漸近線運(yùn)用數(shù)學(xué)分析很容易求解出來。

二、數(shù)學(xué)分析對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用

數(shù)學(xué)分析對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)有著非常重要的指導(dǎo)作用，在這里，就以幾個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)例是說明這種指導(dǎo)作用。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，討論函數(shù)的單調(diào)性只能依照其定義來進(jìn)行，如假設(shè)x10進(jìn)行證明，從而得出函數(shù)的基本單調(diào)性，這種方法沒有辦法把函數(shù)在定義域中的單調(diào)性全貌給展示出來，而且還比較機(jī)械和繁瑣。在數(shù)學(xué)分析當(dāng)中，只需要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)關(guān)系，就可以把函數(shù)的單調(diào)區(qū)間合理的給求解出來。比如，假設(shè)f（x）=x3-x，現(xiàn)對(duì)函數(shù)f的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行討論。這道題運(yùn)用數(shù)學(xué)分析就可以這樣解：由于f（x）=3x2-1=（■+1）（■-1），因此當(dāng)x∈（﹣∞，-1/■）的時(shí)候，f（x）≧0，f則遞增；當(dāng)x∈[-1/■，1/■]時(shí)，f（x）≦0，則f遞減；當(dāng)x∈[1/■，+∞]時(shí)，f（x）≧0，則f遞增。那么，由此就可以得出函數(shù)的單調(diào)性；同樣，函數(shù)極值的應(yīng)用題在中學(xué)數(shù)學(xué)中也比較常見。其求解的時(shí)候一般運(yùn)用像平均值不等式這類的基本不等式來進(jìn)行，這就要求廣大學(xué)生要有著非常要的解題技巧才能夠解答出來，而在數(shù)學(xué)分析當(dāng)中，只要運(yùn)用簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)就可以把答案很快解答出來。比如，現(xiàn)求f（x）=x2+432/x的極值。那么，這個(gè)題運(yùn)用數(shù)學(xué)分析就可以這樣求解：當(dāng)x≠0的時(shí)候，f（x）=2x-432/x2=2x2-432/x2，令f（x）=0，就可以得出一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)x=6。又因?yàn)閒（6）=（2+864/x3）x=6>0。那么，依照函數(shù)極值的第二個(gè)充分條件，x=6是f的極小值，則極小值就是f（6）=108；此外，在證明恒等式上，中學(xué)數(shù)學(xué)方法通常運(yùn)用一些比較高的解題技巧，在數(shù)學(xué)分析中不必要這么麻煩，它只需要依照拉格朗日中值定理的一個(gè)推論就可以把恒等式給證明出來。比如：對(duì)arctanx+arccotx=π/2，x∈R進(jìn)行證明。此題就是利用數(shù)學(xué)分析中拉格朗日中值定理的有效推論就可以馬上得出答案。證明：因?yàn)閤∈R，有（arctanx+arccotx）=1/1+x2-1/1+x2=0，因此，arctanx+arccotx=c，y=arctanx的定義域就是（-∞，+∞），值域則是（﹣π/2，π/2），那么y=arccotx的定義域就是（-∞，+∞），值域則是（0，π），同時(shí)，為了把c進(jìn)行確定，可以在定義域中任取x的值，令x=0的時(shí)候，有c=arctan0+arccot0=π/2，因此arctanx+arccotx=π/2，x∈R。

對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教師來說，要不斷的為自己充實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)，提高自身的教學(xué)素質(zhì)，只有這樣，才能在教學(xué)的過程中把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的游刃有余、得心應(yīng)手。要不斷與數(shù)學(xué)分析中的理論以及思想方法進(jìn)行一個(gè)接觸與了解，讓自身的知識(shí)能與現(xiàn)代社會(huì)相符合，能夠更加現(xiàn)代化。用一些新知識(shí)和理論去對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的內(nèi)容進(jìn)行理解，讓數(shù)學(xué)分析中能夠?qū)χ袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐做一個(gè)有效指導(dǎo)，才能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的真正魅力。廣大教師要首先熟練掌握與理解數(shù)學(xué)分析中的理論和指導(dǎo)思想，要持續(xù)不斷的對(duì)相關(guān)資料進(jìn)行收集，不時(shí)做一些讀書筆記，善于把數(shù)學(xué)分析和中學(xué)數(shù)學(xué)融合在一起，并進(jìn)行比較。久而久之就會(huì)把數(shù)學(xué)分析運(yùn)用的瀟灑自如，也就會(huì)在貫徹?cái)?shù)學(xué)分析對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用上自然而然地運(yùn)用了。

三、結(jié)語

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，教師和學(xué)生要善于通過數(shù)學(xué)分析來對(duì)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行一個(gè)深刻理解，要注重把數(shù)學(xué)分析和中學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)合在一起，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的思想方法和理論原理，高瞻遠(yuǎn)矚的去看問題，就一定能夠獲取更多的知識(shí)和收獲。同時(shí)，就數(shù)學(xué)本身具有著嚴(yán)密性來看，廣大教師要對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容中的某一些理論論述深度進(jìn)行了深入了解，深化對(duì)知識(shí)實(shí)質(zhì)性的認(rèn)識(shí)，能夠?qū)δ切┻x配的不是很合理的數(shù)學(xué)問題能及時(shí)的充實(shí)和熟練掌握。只有這樣，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，我們才能更加對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一個(gè)深刻理解，也才能把中學(xué)數(shù)學(xué)推向一個(gè)全新的高度。

參考文獻(xiàn)：

[1]班曉玲，趙雪梅.數(shù)學(xué)分析選講課程教學(xué)改革的探索[J].科教文匯，2012（34）

[2]蘇強(qiáng).基于幾何畫板研究數(shù)學(xué)分析中的近似計(jì)算問題[J].淮海工學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（04）

[3]李惠琴.化歸方法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用[J].洛陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（02）