以“直”代“曲”在積分學中的可行性研究

舒蘇

摘 要： 在積分理論中，微元法的基本思路就是以“直”代“曲”.但是，大部分教科書礙于時間和篇幅等條件的限制，對以“直”代“曲”的理論淵源并未加以論述，這就使得這一方法的可行性變得比較模糊.本文試根據達布理論，對以“直”代“曲”在積分學中的可行性加以論證.

關鍵詞： 以“直”代“曲” 達布理論 可行性

在積分學理論中，經常需用微元法，而微元法的基本思路就是以“直”代“曲”.然而，在定積分概念的教學中，由于種種原因，大部分教材中刪去了達布的有關定理.因此，學生在用定義求諸如曲邊梯形面積這類問題時，常常會對以“直”代“曲”方法產生一定的困惑：（1）以“直”代“曲”方法的可行性如何？（2）用平行于x軸的直線或用斜線替代曲線，其結果相同嗎？為了解決這些問題，我們首先給出達布的有關定理，然后根據達布理論對以上問題一一加以論證.

一、達布的有關定理

1875年，達布（Darboux）用“大和”、“小和”理論證明了定積分存在的充分必要條件，從而為微元法的一個最基本方法——以“直”代“曲”方法奠定了理論基礎.其主要內容有：

（1）設f（x）是定義在[a，b]上的有界函數，記△x■，△x■，…△x■.

為[a，b]上某一分割，m■與M■分別為f（x）在△x■上的下確界和上確界，則稱■m■△x■與■M■△x■分別為f（x）在已知分割下的“小和”與“大和”，記為s與S.

（2）可以證明，對f（x）在[a，b]上任一積分和■f（ξ■）△x■分均滿足s≤■f（ξ■）△x■≤S.

（3）達布用“大和”、“小和”理論證明了以下定理：

定理設f（x）是定義在[a，b]上的有界函數，則f（x）在[a，b]上可積的充分必要條件是lims=limS.

二、以直代曲方法在求曲邊梯形面積時的可行性

例1：用定義求由拋物線y=x■，直線x=1和x軸所圍曲邊梯形的面積.

（1）由于分割的任意性，不妨將區間[0，1]n等分，則每一個子區間長為△x■=■，且第i個子區間為[■，■]，令m■與M■分別為f（x）=x■在第i個子區間上的下確界和上確界，因為f（x）=x■在[0，1]上為增函數，所以m■=（■）■，M■=（■）■

所以，小和s=■m■△x■=■（■）■·■=■n（n-1）（2n-1），

大和S=■M■△x■=■（■）■·■=■n（n-1）（2n-1）+■，

顯然，■s=■S.

以上由達布定理充分證明在上以直代曲是完全可行的.

（2）用矩形法和梯形法分別求曲邊梯形面積.

①用矩形法計算，即用平行于x軸的直線替代曲線f（x）=x■.

由于分割的任意性，不妨將區間[0，1]n等分，所得曲邊梯形面積為：

I=■■f（ξ■）△x■=■■（■）■·■=■■n（n-1）（2n-1）

=■■（1-■）（1-■）=■.

②用梯形法計算，即用斜線構成的小直邊梯形替代小曲邊梯形將區間同樣n等分，所得曲邊梯形面積為：

I=■■■[（■）■+（■）■]·■=■■[2■t■-2■i+n]

=■■[2n■+n]=■.

顯然，用平行于x軸的直線和用斜線替代曲線其結果完全相同.這是因為，對于y=f（x）在[a，b]上的一般情況，用矩形法計算：I=■■f（ξ■）△x■，用梯形法計算：I=■■■[f（x■）+f（x■）]·△x■，由達布理論知s≤■■f（ξ■）·△x■=■■■[f（x■）+f（x■）]·△x■≤S成立，故由定理知①，②均正確.

三、以直代曲方法在求旋轉體體積時的可行性

1.用平行于X軸的直線AB代替■，顯然用達布“小和”是可行的，

v■=■■πf■（x■）·△x■是積分和的極限，

∴v■=π？蘩■■f■（x）dx，

而v■=■■π·f■（x■+1）·△x■=π？蘩■■f■（x）dx.

2.用斜線AB替代■，

v■=■■■[π·f■（x■）+πf■（x■+△x■）+π■]·△x=■·3？蘩■■π·f■（x）dx=π？蘩■■f■（x）dx.

四、以直代曲方法在計算曲線弧長時的可行性

在計算曲線弧長時也要使用以“直”代“曲”，但在使用這種替代時必須使用等價無窮小替換的原理.例如：在曲線s上取一小段△S.

1.用弦△l來替換△S.此時，方法顯然可行.∵△l=■.

設△S為可求長曲線S的部分，方程為x=φ（s）y=ψ（s），且x′（s），y′（s）存在，且dS■=（dx）■+（dy）■，即（■）■+（■）■=1，

∴■■=■■=■■=1，

其中當MM■→0時，■長與■長為等價無窮小.

2.用平行于x軸的直線△x替換△s。

∵■■=■■=■

此時y■除了y=c（常數）以外，對其他曲線y=f（x）均不為0，這說明△x與△s并非等價無窮小，故不能以此直代此曲.

參考文獻：

[1]菲赫金格爾茨.數學分析原理[M].北京：人民教育出版社，1979.