基于泊松分布的商場管理

冀永強 吳靜

摘 要： 顧客到商店購買物品時相繼到達的時間間隔，即某段時間內到達的顧客數一般是隨機的，到達商店的顧客接受某一特定服務也是隨機的.本文從排隊論的一個結論出發，論證了時間內一個顧客接受某特定服務的概率.

關鍵詞： 排隊論 泊松分布 概率 商場管理

一、問題的提出

顧客到商店購買物品、客人到飯店就餐等現象是普遍存在的，顧客相繼到達的時間間隔即某段時間內到達的顧客數一般是隨機的.此時如果要求服務的人數超過服務機構的容量，即到達的顧客不能立即得到服務，就會出現排隊現象.

二、引理

設λ表示單位時間一個顧客到達的概率，p■（t）表示時長為t的時間區間內到達n個顧客的概率，則

p■（t）=■e■？搖？搖 （t>0，n=0，1，2，…）

即時間內到達的顧客數服從泊松分布[1].

三、定理

設A■表示隨機事件“時間t內到達k個顧客（k=0，1，2，…，r…）”，每個到達的顧客接受某一特定服務的概率為p，且相互獨立，則時間t內有r個顧客接受該特定服務的概率為

■e■？搖？搖 （t>0，n=0，1，2，…）

四、定理的證明

設時間t內到達k個顧客的概率為p（A■），B表示隨機事件“時間內有r個顧客接受該特定服務”.則

P（A■）=■e■，

P（B|A■）=C■■p■（1-p）■？搖？搖 k=r，r+1，…0？搖？搖？搖？搖 k=0，1，2，…，r-1

由全概公式，有

P（B）=■P（A■）P（B|A■）=■P（A■）P（B|A■）

=■■e■C■■P■（1-p）■

=■■e■C■■P■（1-p）■

=■■

=（λtp）■■■■

=（λtp）■■■■

=■■■

=■e■

=■e■？搖？搖 （r=0，1，2，…）

五、一個推論

設時長為t的時間段內接受特定服務的顧客的數為X，則X服從泊松分布，即在時長為t的時間段內接受特定服務的顧客平均數為E（X）=λtp[2].

六、具體應用

西安某超市液晶電視專柜對2012年一年中每天到專柜前詢問的顧客數和最終購買液晶電視的顧客數進行了詳細的統計，統計結果如下表1和表2[3].

表1 柜臺前詢問的顧客數統計表

根據表1可計算出柜臺前詢問的顧客數近似的服從泊松分布，即液晶電視專柜前詢問的顧客平均數約為每天10人.

表2 購買液晶電視的顧客數統計表

根據表2可計算出，購買液晶電視的顧客數近似服從泊松分布，每天前來詢問的顧客中購買液晶電視的概率約為0.1078.

參考文獻：

[1]運籌學（第三版）.清華大學出版社.

[2]馬元生.概率論與數理統計.科學出版社.

[3]呂曉國.泊松分布在商場現代化管理中應用.《商場現代化》，2007.6（505）.