芻議抽象函數定義域的解題策略

陸修群

解決抽象函數定義域的問題，不少學生在高一新課的時候不能理解，即使到了高三總復習的時候也是經常出錯，究其根本原因還是學生對函數的定義及此類題型的解法策略未能真正掌握。函數的定義是：一般的，設A、B是兩個非空數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的數f （x）和它對應，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的一個函數，其中x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數的定義域。因此，不論函數是何種類型，求其定義域就是求函數解析式中使得函數有意義的獨立的x的取值范圍。當然，抽象函數的定義域也不例外。

一、已知f （x）的定義域，求復合函數f [g （x）]的定義域

例1.已知函數f （x）的定義域為[-2，3]，求f （2x-1）的定義域。

解：∵f （x）的定義域為[-2，3]，∴-2≤2x-1≤3，-≤x≤2。

故函數f （2x-1）的定義域為[-，2]。

解題策略1：若f （x）的定義域為a≤x≤b，則f [g （x）]括號中的g （x）與f （x）括號中的x地位等價范圍相同，則a≤g （x）≤b，從中解得x的取值范圍即為f [g （x）]的定義域。

二、已知函數f [g （x）]的定義域，求f （x）的定義域

例2.已知函數f （x2+2x）的定義域為[-2，2]，求函數f （x）的定義域。

解：∵-2≤x≤2，得y=x2+2x=（x+1）2-1∈[-1，8]

故f （x）的定義域為[-1，8].

解題策略2：若f [g （x）]的定義域為x∈[a，b]，則由a

三、已知復合函數f [g （x）]的定義域，求f [h （x）]的定義域

例3.已知函數f （x2+2x）的定義域為[-2，2]，求f （3x-5）的定義域。

解：∵-2≤x≤2，得y=x2+2x=（x+1）2-1∈[-1，8]

而f （x2+2x）的中的x2+2x與f （3x-5）中的3x-5范圍相同，則-1≤3x-5≤8，則≤x≤。即f （3x-5）的定義域為[，]。

解題策略3：若f [g （x）]的定義域為x∈（a，b），則由a

四、已知函數f （x）的定義域，求運算型的抽象函數g （x）=f [g （x）]+f [h （x）]的定義域

例4.已知函數f （x）的定義域是[0，1]，求g （x）=f （x+）+f （x-）的定義域。

解：由條件，g （x）的定義域是f （x+）與x-）定義域的交集。

列出不等式組0≤x+≤10≤x-≤1？圯-≤x≤≤x≤？圯≤x≤，

故g （x）=f （x+）+f （x-）的定義域為[，].

解題策略4：求由有限個抽象函數經四則運算得到的函數的定義域，其解法是：先求出各個函數的定義域，再求交集。若已知函數f （x）的定義域是（a，b），求y=f [g （x）]+f [h （x）]的定義域時，先求a

總之，抽象函數定義域的問題一定要從根本上弄明白，通常而言，定義域是指使得這個函數有意義的獨立自變量的所有值組成的集；在解決具體問題時，要抓住函數內部的等價條件進行轉化，進而利用不等式知識解決問題。

（作者單位 江蘇省如東縣豐利中學）