精題巧問 修知煉法

王咪芳

在數學教學中，若提問得法、有效，不同程度的學生都能在課堂中躍躍欲試；尤其是復習課，在由淺入深、盤旋而上的問題串中，每個學生都能鞏固知識框架，更能通過有效的數學活動，理解掌握數學思想和數學方法.本文就《分割等腰三角形》一課的教學實錄評析為例，供參考.

一、教學實錄

1.巧設問題，力透基礎

問題1：用一條直線將一個三角形分成兩個三角形，怎樣分？

生1：過三角形的頂點作直線.

問題2：用一條直線將一個三角形分成兩個等腰三角形，怎樣分？

生2：這題是不是條件不足？

師：你來加個條件吧！

生2：（思考了一會兒）三角形的各內角是36°、72°、72°.

問題3：用一條直線將內角分別為36°、72°、72°的三角形分成兩個等腰三角形.

生3：作72°角的角平分線.

問題4：用一條直線將內角分別為25°、50°、105°的三角形分成兩個等腰三角形.

生4：將105°角分成25°和80°，分成兩三角形的內角分別是25°、25°、130°和50°、50°、80°

問題5：順利正確解決剛才兩個問題的同學請舉手，采訪你一下：你怎么這么厲害，就分成功了？

生5：我覺得最小的角是不能分的；根據所給內角的度數，先分出一個等腰三角形，再去證明另一個也是等腰三角形.

問題6：你太棒了！請同學們設計一個三角形，使之能被分成兩個等腰三角形.

生6：108°、36°、36°.

生7：10°、20°、150°.

生8：45°、45°、90°.

生9：任意的直角三角形.

師：（看著始終躍躍欲試的學生們）因時間關系，同學們不妨將自己的設計寫下來，并請思考：任何三角形都能被分成兩個等腰三角形嗎？

生齊答：不是！

師：證明一個假命題的方法是什么？

生：舉反例！

師：請證明“任何三角形能被分成兩個等腰三角形”是一個假命題.

生10：等邊三角形.

生11：一個三角形的內角為105°、5°、75°.

師：反例也可以舉出無數種，到底怎樣的三角形能被分成兩個等腰三角形呢？

問題7：探究一個三角形能被分割成兩個等腰三角形的條件.

評析：好的復習課，要兼顧全體學生；本節課前7個問題的設計，讓不同程度的學生都能有所得.既梳理了圖形分割的基本思路，又強化了對幾何問題的本質理解，能較好地促進學生對知識方法的接受和內化，這種問題驅動式的復習方式，值得借鑒！

2.鼓勵猜想，小心驗證

在△ABC中，設∠A=α，∠B=β，∠C=γ，（α<β<γ）

過點B作直線l，交BC于點D如圖.可先令∠ABD=α（先定一個），則∠BDC=2α，接下來須讓△BCD也滿足為等腰三角形，開始分類討論.

生12：我覺得應該分三種情況，①當γ=2α時；②當β-α=2α時；③當β-α=γ時.

師：△ABC的特點呢？

生12：第一種情況的三角形中，一內角是另一內角的2倍；第二種情況可化為β=3α，即一內角是另一內角的3倍；第三種情況可化為β=α+γ=90°，即△ABC是直角三角形.

師：（將學生的回答板書出來）你真厲害！歸納得井井有條.讓我們根據這一規律對剛才同學們所舉的三角形作一下判斷，順便也做個驗證.請同學試試，并簡略說明怎么分割.

生13：第一個三角形符合第二種情況，把108°分成36°和72°，就得到兩個等腰三角形.

師：你分析得完全正確；在一個內角是另一個內角三倍的情況下，只要把三倍角分成1∶2兩部分即可.

生14：第二個三角形符合第一種情況，把150°的角分成10°和140°.

師：又解決了一個問題；據同學們的方法，當一個角是另一個角的兩倍時，將第三個角分出較小的一個內角的角度.打鐵趁熱，想請同學們分割一下如下三角形：30°、50°、100°.

生15：這是第一種情況，可是我分不出來.

師：有沒有同學分割成功了？

學生都搖頭，并表示不解.

生16：我知道了，我們不能分割最小角，如果一個角是另一個內角的2倍，等待被分割的第三個角不能是最小角，所以情況一還有限制條件.我覺得應該180°-3α>α，α<45°.

師：你的發現實在是太精彩了！第一種情況屬于假命題，我們通過添加條件使其成為真命題，三角形中一個內角是另一個內角（小于45°）的2倍，則此三角形能被分割成兩個等腰三角形.

生17：第三個和第四個三角形都屬于直角三角形，只要將直角分成其余兩個銳角的度數即可.

師：說得真好！讓我們來觀察一下被分割后的直角三角形ABC，AD=BD，CD=BD，這一結論可用直角三角形的一個性質來描述，同學們試試？

生18：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

師：我們無意間找到了證明這一性質的方法.

評析：數學離不開對數形規律的探究，好的方法能幫助我們快速厘清思路、辨明方向.這一階段的設計，層次分明、內涵豐富，讓學生較輕松地完成了規律的探求。通過有效追問，極大地豐富了學生的思維空間；而分類思想的滲透，則有助于培養學生思維的縝密性與良好品質.

3.緊扣規律，應用提高

問題8：把一個等腰三角形分成兩個等腰三角形，求原等腰三角形的頂角.

學生分小組探討3分鐘后派代表發言.

生19：我們小組直接用剛才所得的結論來解題的.設等腰三角形的頂角為x°，底角為y°，得一個基本等式：x+2y=180°.如果是直角三角形，那么就有x=90°；如果一個內角是另一個內角的2倍，則有x=2y或y=2x，分別得到x=90°，x=36°；如果一個內角是另一個內角的3倍，則有x=3y或y=3x，分別得到x=108°，x=（）°；綜上所述：原等腰三角形的頂角可以是90°、36°、108°和（）°.

全班鼓掌.回答的精彩程度不言而喻.

問題9：把一個正三角形分成四個等腰三角形.（用盡可能多的方法，課后完成）

評析：復習課的基本目的，一是內化知識，鞏固基礎；二是綜合運用，提升能力.從這個要求上看，本階段安排的兩個變式練習，有助于較好地達成教學目標.特別在基本圖形的提煉、解題思路的引領、基本規律的應用上，凸顯了教師對幾何教學本質的認識.

二、評析

本課主題明確，線索清晰，問題設置恰當；教師啟發有力，學生思維活躍，教學目標達成度較高，較好地實現了數學學習中“基礎、方法和能力”的有機統一.

1.精心設計問題，讓學生充分經歷有效的數學活動經驗

問題既是數學學習的心臟，又是思維活動的起點.通過問題來驅動教學，往往是實現夯實知識基礎，揭示本質特征，提煉數學方法，提升思維水平等復習要求的有效途徑.本課設計的問題1到問題6，起點較低，學生參與度很高，在上課伊始，較好地活躍了課堂氣氛.當然，其主要目的是鋪墊，通過對問題的基礎解剖、特殊練習，使學生深刻理解問題本質，為提升能力做好必要的準備.低起點、高立意的數學活動，讓每一位學生覺得原本枯燥的數學，因其能輕巧參與其中而變得親切生動起來了，是高效課堂的必然保證！

2.立足方法引領，讓學生在解題中發展數學思維

本課問題切入點明確，學生常有精彩解答，而教師并不滿足于此，在學生回答后，不失時機地進行總結提煉，由點及面、歸納提升、反思延拓.讓學生在不知不覺中，從會解一道題到一類題；從知其然到知其所以然；從橫看成嶺到側看成峰到俯瞰成山脈.這就是復習課的立意所在！

（作者單位 浙江省寧波惠貞書院）