淺談中考中的數(shù)學建模思想類型

莊家朝

數(shù)學的生命力在于它能有效地解決現(xiàn)實世界向我們提出的各種問題，而數(shù)學模型正是聯(lián)系數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁。如何將現(xiàn)實轉化為數(shù)學模型，這是對學生創(chuàng)造性地解決問題能力的檢驗，也是數(shù)學教育的重要任務。

數(shù)學建模思想是指從實際問題中發(fā)現(xiàn)、提出、抽象、解決、處理問題的思維過程。它包括對實際問題進行抽象、簡化，建立數(shù)學模型，求解數(shù)學模型，解釋驗證等步驟。現(xiàn)就初中數(shù)學中考中幾種常見的數(shù)學建模類型歸納如下，與大家商榷。

一、方程模型

方程是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系的最基本的數(shù)學模型。方程應用題可以與現(xiàn)實世界的許多問題發(fā)生聯(lián)系，求解此類問題的關鍵是：針對給出的實際問題，設定合適的未知數(shù)找出相等關系，但要注意驗證結果是否適合實際問題。

方程模型主要有工程、行程、利息和稅率、百分率、濃度分配、勞力調配等題型。

例.（上海市，2004）為加強防汛工作，市工程隊準備對蘇州河一段長為2240米的河堤進行加固。由于采用新的加固模式，現(xiàn)在計劃每天加固的長度比原來計劃增加了20米，因而完成此段加固工程所需天數(shù)將比原計劃縮短2天。為進一步縮短該段加固工程的時間，如果要求每天加固224米，那么在現(xiàn)在計劃的基礎上，每天加固的長度還要再增加多少米？

（答案：64米。）

二、不等式（組）模型

現(xiàn)實世界中不等關系是普遍存在的，許多現(xiàn)實問題很難確定具體數(shù)值，但可以求出或確定這一問題中某個量的變化范圍，從而對所有研究問題的面貌有一個比較清楚的認識。

不等式（組）模型主要有方案設計、最佳優(yōu)化等題型。

例.（河北省，2004）光華農(nóng)機租賃公司共有50臺聯(lián)合收割機，其中甲型20臺，乙型30臺，現(xiàn)將這50臺聯(lián)合收割機派往A、B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺派往A地區(qū)，20臺派往B地區(qū)。兩地區(qū)與該農(nóng)機租賃公司商定的每天的租賃價格見下表：

（1）設派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機，租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金（元），求y與x間函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；

（2）若使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金總額不低于79600元，說明有多少種分派方案，并將各種方案設計出來；

（3）如果要使這50臺聯(lián)合收割機每天獲得的租金最高，請你為光華農(nóng)機租賃公司提出一條合理化建議。

（答案：（1）y=1600x+1800（30-x）+1200（30-x）+1600（x-10）=200x+74000，x的取值范圍：10≤x≤30（x是正整數(shù)）；（2）由200x+74000≥79600，得x≥28，由10≤x≤30，則x取28、29、30三個值，故有3種不同方案；（3）由y=200x+74000得y隨x的增大而增大，當x=30時，y有最大值。）

三、函數(shù)模型

函數(shù)應用題涉及的知識層面豐富，解法靈活多變，是考試命題的熱點問題。解答此類問題一般都是從建立函數(shù)關系入手，將實際問題模型化或結合函數(shù)圖象來挖掘解題思路。

函數(shù)模型主要有造價成本最低、產(chǎn)出利潤最大、風險決策、股市、期貨、開源節(jié)流、扭虧增盈等題型。

例.（貴陽市，2004）某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關系如下表：

若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)。

（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

（答案：（1）y=-x+40；（2）銷售價定為25元，此時獲得最大利潤為225元。）

四、統(tǒng)計模型

統(tǒng)計知識在現(xiàn)實生活中有著廣泛應用，作為學生要學會深刻理解基本統(tǒng)計思想。要善于提出問題，考慮抽樣，收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決策，并能進行有效的交流、評價與改進。

統(tǒng)計模型主要有估算、預測等問題。

例.（河南省，2004）某水果店一周內(nèi)甲、乙兩種水果每天銷售情況統(tǒng)計如下（單位：千克）：

（1）分別求出本周甲、乙兩種水果平均每天銷售多少千克；

（2）甲、乙兩種水果哪個銷售更穩(wěn)定？為什么？

（答案：（1）甲、乙兩種水果平均每天平均銷售51千克；（2）乙水果銷售更穩(wěn)定些。）

五、平面幾何模型

幾乎每個幾何定理都有一個對應的圖形，這個圖形就可以看作幾何的基本圖形。只要熟悉了這些定理及圖形，就可運用這些作為幾何模型來解決一些實際問題。

平面幾何模型主要有零件加工、殘輪修復、工程選點、道路設計、飛輪、皮帶、拱橋、制造設計等問題。

例1.（山東濰坊，2004）現(xiàn)有樹12棵，把它栽成三排，要求每排恰好為5棵，如下圖1就是一種符合條件的栽法。請你再給出三種不同的栽法。（畫出圖形即可）

例2.（青海湟中，2004）有一塊三角形的地，現(xiàn)要平均分給四農(nóng)戶種植（即四等分三角形面積），請你在圖2上作出分法。（不寫作法，保留作圖痕跡）

數(shù)學建模的關鍵是善于通過對實際問題的分析，抓住其本質，聯(lián)想相應的數(shù)學知識，建立數(shù)學表達式，并應用其性質找到解決問題的途徑。

思路是：分析實際問題—（聯(lián)想）—建立數(shù)學表達式—（選擇數(shù)學知識）—解決實際問題。體現(xiàn)了數(shù)學來源于實踐，又是為實踐服務的宗旨。

在教學過程中進行數(shù)學建模思想的滲透，不僅可以使學生體會到數(shù)學并非只是一門抽象的學科，而且可以使學生感覺到利用數(shù)學建模的思想結合數(shù)學方法解決實際問題的妙處，進而對數(shù)學產(chǎn)生更大的興趣。

（作者單位 福建省泉州市德化縣第五中學）