基于Matlab的《常微分方程》實驗課教學探索

王居鳳

摘 要：實驗教學是學習《常微分方程》理論教學的輔助。針對《常微分方程》實驗課，對如何使用Matlab做實驗做些探討。

關鍵詞：常微分方程；實驗；教學

《常微分方程》是高等學校數學及相關專業的課程，該課程主要以理論教學為主，研究了各種方程的解法。實際上，很多微分方程是沒有解析解的，這時利用書上的算法求數值解，步驟很多，計算繁瑣。為了激發學生的學習興趣，本文針對四個方面對基于Matlab的《常微分方程》實驗課教學進行探索。

一、通過Matlab求矩陣計算、特征值、平衡點、線性方程組

各舉一個例子讓學生熟悉矩陣計算、特征值、平衡點、線性方程組的Matlab命令及使用。

二、通過Matlab求常微分方程的解析解

求微分方程解析解常用dsolve命令：s=dsolve（‘方程1，‘方程2，…，初始條件1，初始條件2…，自變量）。舉一例子求方程的通解，再舉一例子求方程的特解，為體驗這命令在方程組中也適用，繼續舉一方程組分別求其通解及特解。

三、通過Matlab求常微分方程的數值解

有些常微分方程的解我們無法用初等函數將其表達出來，此時，需要尋求方程的數值解，在求常微分方程數值解方面，常用命令：[t，x]=solver（‘f，ts，x0，options）。solver為命令ode45，ode23，ode15s，ode23s，ode23t，ode113之一，不同命令對應于不同算法，各算法有自己的特性。ode45在很多方程求解時的首選算法，而ode23適合于對精確度要求不高的方程求解問題。解釋‘f，ts，x0，options的含義及特點，比如，求解的方程式含n個未知數，則x0為 n維向量。在這部分實驗內容里，舉一特殊例子，例如，求微分方程：+2+19y=0，初始值為y（0）=0，y′（0）=1，先求解析解，再求數值解，并進行比較。求解析解時直接調用命令：y=dsolve（′D2y+2*Dy+19*y=0′，′y（0）=0，Dy（0）=1′，′x′），求數值解時，由于這是二階的微分方程組，先將其轉化為一階微分方程組再求解。求解后再編程，將方程的解析解用虛線畫出，保留圖形再將方程的數值解圖形用紅顏色星號曲線畫出，通過兩條曲線，直觀地感受解析解和數值解的吻合程度，從而理解數值解的精確度。

四、通過Matlab畫平面向量場、等高線圖、空間曲線、曲面圖

向量場等僅憑學生的想象力不太好理解，而手工畫曲線的向量場、等高線等非常耗時，通過Matlab將其畫出，曲線形狀相對直觀，這有利于學生空間想象能力的培養。

在《常微分方程》中增加使用Matlab的實驗課，會使學生對常微分方程的理論有較為感性的認識，從而激發學生學習的熱情，加深學生對本課程的掌握程度。

參考文獻：

王高雄，周之銘，王壽松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

（作者單位 中國計量學院數學系）