探索新課程理念下的一節數學課

趙琳

摘 要：用向量法證明“點到直線的距離公式”，引導學生從解析幾何中點、線、距離、平行、垂直關系向向量運算過渡，發現兩者之間的內在聯系.

關鍵詞：距離；向量坐標；方向向量；法向量；數量積；向量的投影

【探索背景】

本節課是北師大版高中數學必修4平面向量部分的內容。按教材的安排，本大節是想讓學生熟悉向量在數學和物理學中的應用，理解向量的工具性.從高考角度看，向量與三角函數、解析幾何等知識綜合起來的題目頻頻出現在全國各地的高考試卷中，這些題目新穎，難度較大，成為高考的新寵.本節課通過一個具體的實例來體會向量的作用.

【探索意圖】

本節課內容是用向量法證明“點到直線的距離公式”.雖然只是一個證明，但由于向量是個新的知識，比較抽象，學生在學習新知識時就比較被動，到了這節課，要求學生在原有知識的基礎上，把幾何中的代數知識轉化為向量知識，進行類比，聯系，對學生能力要求比較高，學生覺得比較困難.所以，我對這節課進行了仔細的探索和研究，以問題為教學線索，以類比為教學方法，引導學生逐步從解析幾何中點、線、距離、平行、垂直關系向向量運算過渡，發現兩者之間的內在聯系.

【探索過程】

一、引課

教師活動：前幾節課，我們學習了平面向量的有關知識.向量既有大小，又有方向，所以，它既具有數的運算特點，又具備形的特征，具有更廣泛的意義，常應用在數學和物理中.幾何中的夾角、距離、平行和垂直關系以及線、面都可以用向量刻畫.今天我們通過一個具體的實例來體會向量的作用.用向量法證明“點到直線的距離公式”.

活動說明：點明本節課主題，突出向量的重要作用.

二、復習回顧

教師活動：和學生一起回顧公式：點p（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離d=（A，B不同時為0）

問題1：在必修2解析幾何部分學習時，證明“點到直線距離公式”的方法？（只說思路，不做詳細證明）

學生活動：方法一，利用定義：（1）確定直線l的斜率k（k≠0）.（2）求與l垂直的直線l′的斜率.（3）求過點P垂直于l的直線l′方程.（4）求l與l′的交點Q.（5）求點P與點Q的距離.（6）得到點P到l的距離d=PQ.方法二，利用函數的思想：設Q（x，y）為l上一動點，d為|PQ|最小值，寫出距離公式，轉化為二次函數求最值問題.師生共同總結：這些方法思路簡單，但運算繁瑣.

活動說明：因為是復習，不是重點，證明幾種方法根據學生回答問題情況而定.

三、探索新知

教師活動：研究如何用向量證明點到直線的距離公式，因為要用向量法證明，所以要把問題放在向量背景中.

設置問題：問題2：什么向量能夠刻畫直線？向量坐標怎么求？

問題3：還有什么向量能夠刻畫直線？向量坐標怎么求？

問題4：垂足位置不定，如何求距離？

問題5：P，M以坐標形式出現，如何刻畫長度？

問題6：向量P，法向量以坐標形式出現，向量的什么知識可以幫助我們求d？

學生活動：問題2：方向向量.方向向量是與直線平行，共線的非零向量，有無數多個.引導學生求出一個方向向量=（B，-A）

問題3：法向量.法向量是與直線垂直的非零向量，有無數多個.可以通過與方向向量垂直來求坐標. ，引導學生求出一個法向量 =（A，B）

問題4：直線上再找一個點M（x，y）構造直角三角形，垂線段的長d與斜線段|PM|有關.

問題5：模長.

問題6：向量的投影（復習投影知識）.d是P 上投影的絕對值.

活動說明：以問題為教學線索，引導學生的思維從問題到問題深化.

四、完成公式推導

教師活動：要求學生完成推導過程.學生容易忽略距離是一個非負數，所以，教師要強調PQ= ·cosθ應該加上絕對值符號.

學生活動：學生完成：

教師活動：（小結）向量法證明點到直線的距離公式，思路較難，但運算簡單.隨著知識的推進，向量的深入學習，可以繼續體會向量解決問題的優越性.

活動說明：在學生原有的知識體系上，通過類比逐步引導學生從解析幾何中點、線、距離、平行、垂直關系向向量運算過渡，發現兩者之間的內在聯系.

【探索實踐】

證明題本來就是學生比較吃力的一類題，再加上向量知識的要求，這節課難度較大，比較抽象.這節課我沒有一味地追求學生的自學模式，采取了設置問題的方法，將學生慢慢引入向量背景中，讓學生逐步體會點、線、面、夾角、距離、平行垂直關系如何用向量刻畫，代數運算如何上升為向量運算.整個分析過程和解決過程都是由學生來完成的.實踐證明，這種授課方式比較成功，學生很容易接受.

（作者單位 陜西省西安中學）