“1”的妙用

姚京

數學教學有兩個維度：數學知識和數學思想方法。數學知識是基礎，數學方法是本質。數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。

然而心理學研究表明，小學生思維正以具體形象思維為主，并逐步向邏輯思維為主要形式過渡；由具體運算為主，逐步向形式運算為主過渡的時期。因此對數學思想方法的滲透必須符合學生的年齡特征，同時必須借助于合適的“拐杖”，本文旨在簡述通過“1”的妙用，淺析在小學數學數與代數領域中如何滲透基本的數學思想方法。

一、建模

模型思想是指用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。從廣義角度上講，數學的概念、定理、規律、法則等都是數學模型。模型思想的形成，就是數學思維抽象的過程。

例如，在教學《倒數》一課時，我作了如下設計：

層次一：分數的倒數學生自主歸納。

層次二：整數的倒數。

師：5的倒數是多少？你是怎么想的？

生：5的倒數是 。因為5可以寫成 ，分子分母交換位置就是 。

師：6的倒數呢？7的倒數呢？（學生爭先恐后搶答）

師：a的倒數呢？（學生異口同聲說 ）

層次三：小數的倒數。

師：0.5的倒數呢？（生依據剛才的經驗不假思索答到 ，但很快沉寂了，懷疑自己的答案。）

師：剛才同學們的思考， 是正確的，但是同學們又否定了這樣的結果，其實只要我們稍加變換，就可以把 化成 ，也就是2。

同學們若有所思，恍然大悟。

【評析】在探尋一個數倒數的方法的過程中，教師借助于“1”使學生理解求整數的倒數的方法，并在此基礎上幫助學生利用字母抽象出數學本質。隨著數字的變換，出現0.5，對于學生來說是慣性思維的運用，但很快又被自我否定，因為 這樣的形式有違分數在學生心理的定式。在這樣的基礎上教師引導學生把 改寫為學生的已有分數形式，使學生豐富對分數的認識，同時對學生思維的發展也是一種突破。

再如，99×38+38，x-0.4x=12等都可以利用“1”幫助學生把具體問題劃歸到特定的數學模型中加以解決。

二、轉化

著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解的題轉化為已經解過的題。”數學的解題過程就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程。

小學階段最常用的是等價轉化，是把未知的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡單的問題。它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。

例如，在教學比的基本性質練習一課時，設計如下練習。

甲數是乙數的1.5倍，甲數與乙數的比是（ ），化成最簡整數比是（ ）。

【設計意圖】對于學生來說，已知兩數之比求比值是順向思維，而已知比值求兩數之比是逆向思維，學生感覺無從下手。通過這樣的逆向思維訓練，培養學生思維的靈活性。

【教學過程】

層次一、引導學生用線段圖表示兩者之間的數量關系。

師：你能根據題意畫出線段圖嗎？

層次二、引導學生根據線段圖，用數字表示兩者之間的數量。

師：根據我們畫出的線段圖，你能用數字表示兩者的關系嗎？

啟發學生用數字1（即單位“1”）表示乙數，1.5表示甲數，從而寫出兩數之比。

【評析】教師在引導的過程中，充分滲透了轉化的數學思想，由數變換為圖形關系，便于學生直觀思考，并啟發學生根據圖形利用“1”建立兩者數量間的關系。數形結合，符合學生的認知發展規律。

轉化思想靈活多樣沒有一個統一的模式。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換。小學階段滲透轉化的數學思想必須符合學生的認知發展規律，變抽象為直觀、變形式為具體。過程省時省力，有如順水推舟，經常滲透等價轉化思想，可以提高解題的水平和能力。

三、歸納演繹

“歸納與演繹”是基本數學思想方法。小學階段數學學習常常是通過簡單、個別、具體、特殊例子的研究，總結、歸納出一般結論，然后演繹應用于實際問題的解決，或者通過演繹推理獲取更上位的知識。

例如，在教學分數乘法，因數的大小與積的大小關系時，可以巧借助于“1”幫助學生歸納與演繹。

設計如下題組：

層次一：出示題組（1）。

師：你有什么發現？

引導學生發現，一個因數相同，另一個因數大乘積就大。這樣的規律對于六年級學生來說是很容易發現的。

層次二：在此基礎上出示題組（2）。

師：你能利用剛才發現的規律不計算就能判斷大小嗎？

啟發學生巧妙添上“1”使題組變換為：

利用“1”建立特定的模型，在此基礎上運用不完全歸納法總結規律，在習得基本知識的同時，培養學生基本的數學思維能力。

綜上所述，作為一名數學教師，要有高瞻遠矚的視野，設計便于學生的表現形式幫助學生尋找合適的“拐杖”，讓學生在習得基本知識的同時，滲透基本的數學思想方法，積累經驗進而使數學思維方法植根于學生的心中！

（作者單位 江蘇省金壇市明珍實驗學校）