添加輔助線巧化梯形

鐘紅

【關鍵詞】梯形 輔助線 轉化

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）08B-0055-03

初中數學新課標要求學生能夠證明和解答一些幾何問題。但幾何圖形變化無窮、復雜多變，給學生帶來不少的困擾。有時因為一條輔助線沒有作好而功虧一簣；有時也會因為作好一條輔助線而使問題簡單化，達到四兩撥千斤的效果。人教版初中數學八年級《梯形》這一節內容，教材內容比較少，圖形既空又雜，因此，作好輔助線是學好梯形的關鍵。下面筆者從教學實踐中談談如何在梯形中作輔助線：

首先我們來看看梯形常見的幾種輔助線的作法（見下表）：

一、平移，構平行四邊形和三角形

1.平移一腰

【分析】作DF∥AB交AC、BC于點E、F，在等腰直角三角形中求出EF、CE的長，用DE=DF-EF求出DE，再利用勾股定理可求出CD的長。

【評注】在梯形當中作平行于一腰的直線可以把梯形轉化為學生熟知的平行四邊形和三角形，通過平行四邊形的性質、三角形三邊的關系及直角三角形銳角三角函數和勾股定理就可以求解。

2.平移兩腰

【評注】 作平行于兩腰的直線可以充分利用梯形兩個底角互余的關系，構出直角三角形，利用在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半則可求解。

3.平移對角線

【評注】 作平行于一條對角線的直線可以把上底+下底轉化成同一條線段，利用勾股定理可以求出該線段，即兩底的和，再用梯形的中位線等于它的一半即可求解。

二、延長，延長兩腰相交于一點，可使梯形轉化為三角形

例5 如圖5所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC=BD，AD=BC，判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結論。

【分析】 延長AD、BC相交于點E，可得兩個等腰三角形，利用三角形內角和及等腰三角形的性質“兩個底角相等”，推出∠EDC=∠EAB，進一步推出DC∥AB，就可證明。

【評注】 延長兩腰相交于一點，轉化出兩個等腰三角形，利用等腰三角形性質求解。

三、作梯形的高，構矩形和直角三角形

2.作兩條高

例7 如圖7所示，已知梯形ABCD的兩條對角線長AC=20、BD=15，它的高為12，求梯形ABCD的面積.

【分析】 作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足為E、F，可得矩形AEFD，這樣AD=EF，從而上底AD+下底BC就等于BF+CE，在直角三角形利用勾股定理就可以求出BF和CE，再利用梯形的面積公式可以求出該梯形的面積。

【評注】 作梯形的高可以把梯形轉化為矩形和直角三角形，利用矩形的性質和直角三角形的勾股定理可以求解。

四、作中位線，利用三角形或梯形中位線定理

1.已知梯形一腰中點，作梯形的中位線

例8 如圖8所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，且AD+BC=CD，求證：DE⊥CE。

【分析】 取CD的中點F，連接EF，利用梯形中位線定理得AD+BC=2EF，因為AD+BC=CD，所以CD=2EF，根據在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形可以得證。

【評注】 當遇到梯形一腰的中點時，過梯形一腰中點構全等三角形，可以把三角形的面積、邊長、角轉化；再由已知條件出發即可求解。

萬變不離其宗，核心是轉化，把未知轉化為已知，把梯形轉為我們熟知的三角形和平行四邊形。通過上述方法，假以時日，融會貫通，定能巧妙地解決梯形中的問題。

（責編 林 劍）