學前兒童乘法能力研究綜述

張亞杰

【摘要】關于學前兒童乘法能力發展的研究大多集中在許多與一對應、乘法概念起源、乘法類型以及乘法問題解決策略等方面。已有研究成果對當前幼兒園開展數學教育有積極指導意義。本文通過對已有研究文獻的綜述，展望了今后的研究方向。

【關鍵詞】學前兒童；乘法能力；研究綜述

【中圖分類號】G610 【文獻標識碼】A 【文章編號】1004-4604（2013）07/08-0077-04

乘法是一種運算方法。最簡單的乘法。是對幾個相同數連加的簡便算法。例如。2+2+2+2+2.5個2相加，可以改為2乘以5，或者5乘以2進行計算。在我國，一般是在小學二年級上學期開始學乘法的。不過有相關研究表明，在學前階段，兒童已經具備了一定的乘法能力，兒童在學前期獲得的這些數學知識與技能會在一定程度上影響他們在小學階段的數學學習。因此，研究學前兒童的乘法能力，有助于進一步了解兒童數學思維的發展狀況，為兒童日后更好地適應小學學習提供幫助。目前已有的關于學前兒童乘法能力發展的研究主要集中在許多與一對應、乘法概念起源、乘法類型以及乘法問題解決策略等方面。相關研究綜述如下。

一、許多與一對應

學前兒童不僅在數的一一對應能力上發展很快，而且還具有較好的許多與一對應的能力。通常，許多與一對應的能力是在學前兒童開始形成數單元（unit）意識之后、正式學習乘法之前發展起來的。研究表明，在最初嘗試解決乘法問題時，學前兒童往往只會考慮問題所涉及的兩個數量中的一個。例如，在回答給4個娃娃每人分3張卡片，一共需要多少張卡片的問題時，兒童的回答要么是4，要么是3。

其實，兒童在日常生活中時常需要處理許多與一的對應問題。研究表明，在小學正式開始學習數學前，學前兒童已經具有一定的數學理解能力了，這種理解能力來自于兒童處理身邊的日常生活問題時的經驗積累。貝克爾研究了學前兒童是否能運用數數來對當時不能感知到的許多與一的對應關系進行推理。結果表明，許多4～5歲學前兒童都能理解許多與一的對應關系，能用數數的方式來解決給每個娃娃分2個或3個物體的問題。研究發現，二對一的情境比三對一的情境的表現好，年齡大的兒童比年齡小的兒童的表現好，4歲半和5歲的兒童基本都能完成許多與一對應的任務。

那么，對較小的學前兒童進行許多與一對應的訓練，是否有利于促進兒童乘法能力的提高呢？布羅特將4歲兒童分為訓練組和控制組，為訓練組兒童提供實物并詳細向兒童介紹怎樣一個一個數這些物體。結果表明，這樣的短期訓練是有效的。訓練組兒童取得了很大進步。布羅特的研究表明，理解物體的集合是解決許多與一對應問題的核心，學習許多與一對應數數的策略以及正確的運用這種策略與兒童對物體集合的理解程度有關。在日常生活中，學前兒童是有機會學習這種策略的。例如，當兒童要給一定數量的人按公平原則來分配餅干的時候，他們就會采用許多與一對應數數的策略來完成任務。

上述研究表明，部分兒童早在4歲時就已經能夠理解簡單的許多與一的對應關系了，年齡越大的兒童表現越好，大部分5～6歲兒童能采用有效策略解決簡單的乘法問題。學前兒童對許多與一對應關系的理解標志著兒童抽象思維能力的進一步發展。當然，學前兒童對許多與一對應關系的理解尚處于初級階段，并且受制于問題的抽象程度，他們大多數時候是使用數數策略來解決許多與一的對應問題的，不過這種成功經驗仍然為他們今后的乘法學習奠定了基礎。了解學前兒童對許多與一對應關系的理解水平，有利于教師為兒童提供適宜的指導。

二、乘法概念起源

乘法概念的起源有兩種不同的假設。一種假設是認為乘法的直覺模式就是重復加。斯特菲認為學前兒童乘法概念的起源就是他定義的“合成單元”（composite units），這個合成單元就是重復地加。盡管斯特菲認為這些單元的重復相加非常重要，但他也支持在數這些合成單元之前兒童對乘法的理解是問題解決的關鍵。然而，他并沒有提到兒童是怎樣得出或者為什么會得出“合成單元”這一概念的。

第二種假設是認為學前兒童乘法概念的起源是他們形成了對應機制，而不是加法概念。皮亞杰提到，乘法不僅是重復加的簡便運算，而是一項需要更高層次思維能力的運算，是在兒童具有加法思維能力之外建構的。加法思維僅僅包含一層抽象關系，而乘法思維需要包含兩種加法思維所沒有的抽象關系：例如，一是3和3的個數之間的許多與一的對應關系，如有4組，每組對應3個物體；二是不只一個層面的包含關系，如第一層是4組，第二層是每組包含3個物體。

帕克和努涅斯的研究驗證了以上兩種假設。他們在前測中測查6歲兒童在解決加法和乘法問題時的表現，然后將兒童隨機分配到兩個訓練組，一組通過重復加來學乘法，一組通過許多與一的對應來學乘法，然后進行后測。結果表明兩組兒童均取得了明顯進步，而通過許多與一的對應來學乘法的訓練組的進步更明顯，支持了乘法概念的起源是基于對應而不是重復加的假設.即兒童對乘法概念的理解是建立在許多與一的對應機制上的。

這兩種假設會影響教師對待學前兒童數學學習的態度。如果教師贊同乘法就是重復加，那么在引導兒童解決乘法問題時就會強調將相同的數相加。如果教師認同乘法要突出許多與一的對應關系，那么就會引導兒童關注許多與一的對應關系。而理解許多與一的對應關系，正是學前兒童能夠正確理解乘法關系的重要基礎。

努涅斯和布萊恩特的研究發現，盡管加法和乘法在概念上不相同，但在運算上卻有程序上的聯系，重復加可以作為解決乘法問題的一種程序性方法，而不是概念性基礎。兒童也可以用其他的程序性方法來解決乘法問題，如數數。盡管這樣的程序性方法效率較低，但只要兒童能夠理解問題情境中數量的關系，他們就能正確解答問題。至少，在數量較小的簡單乘法問題中是如此。

三、乘法類型

乘法類型有不同的分類方式。格里爾將乘法分為四類：相等小組（2張桌子，每張桌子坐4個人），乘法比較（男孩是女孩的3倍），矩形排列（站3排，每排站4個人），笛卡爾積（即配對問題，3件上衣和4條褲子，計算可以配成幾套衣服）。這些類型涉及了重復集合、許多與一對應、多行多列以及交叉對應等關系。在乘法關系中，這些類型均涉及三個數字，即每個集合中物體的數量、集合的數量以及總數。

對學前兒童來說，比較容易理解的是相等小組和矩形排列任務，因為兒童可以在頭腦中形象展示這兩種任務情境，而乘法比較和笛卡爾積任務則在大多數兒童的理解范圍之外，因為倍數和配對概念過于抽象，所以不適合學前兒童學習。也就是說，在學前階段，兒童可以更多涉及相等小組和矩形排列任務，這兩類任務均體現了許多與一的對應關系。

學前兒童在理解簡單的乘法關系時存在兩個主要的困難：一是對特定術語的理解能力不足，對行、列、每等術語的理解存在困難。二是信息處理有難度，不知如何正確使用問題中包含的數字信息。因此，如何使用學前兒童能夠理解的語言.引導兒童理解乘法關系，是幼兒園教育中應該深入研究的問題。

四、乘法問題解決策略

關于乘法問題的解決策略類型有兩種不同的分類方式。一種是哈德曼根據兒童的計算策略，即抽象程度分出來的五類：一是直接數，即用實物來表征問題；二是有規律地數，即按問題的結構來數，例如先數第一組的個數，再數其他組的個數；三是跳數，即按照乘數來數（如2、4、6）；四是加法計算，即用加法代替數數，如2+2=4，4+2=6；五是乘法計算，即利用已知的乘法事實來計算。[14]一種是按兒童所使用的實物來區分，即看兒童使用什么物體，如是用代幣、手指，還是用符號、線條等，或者是什么都不用。研究者一般將兩種分類方式結合起來，考察學前兒童解決乘法問題的水平。

在學前階段，直接數、有規律地數、跳數、加法計算都是兒童常使用的問題解決策略，而個別兒童會采用乘法計算策略。這與兒童自身所接受的輔導有關。在關于兒童乘法問題解決策略的研究中可以發現，學前兒童在解決乘法問題時采取的策略經常會由數數、重復加，過渡到乘法運算，兒童先前獲得的技能，如加法、重復、心算等，均有利于乘法的學習。兒童通常會利用簡單的數數和將每個相等數量的集合中的數相加來解決乘法問題。

相關研究發現，兒童在利用數數來解決乘法問題時會表現出很多不同的特點。布羅特對4歲兒童解決許多與一對應問題時采取的策略進行了總結，發現有的兒童采用的是許多對一的數數策略，例如先數第一種動物的卡片，然后再數第二種動物的卡片，或先數第一排的卡片，再數第二排的卡片；有的兒童在使用許多對一數數策略時出現了錯誤，即雖然采用的是許多對一的數數策略，但是在數某一行或列時會出現計數錯誤；還有的兒童采用的只是初步的許多對一數數策略，例如對每種動物不止數了一張卡片，但卻沒有連續數，導致不清楚每種動物有幾張卡片；還有兒童采用的是無效策略，例如只數動物的數量，或者只數小組的數量等。可見，學前兒童解決乘法問題的策略是多種多樣的，而出現錯誤的原因大多是因為兒童尚處于加法思維階段，并沒有掌握乘法的實質，即許多與一的對應關系。至于中國兒童解決乘法問題的策略具有怎樣的發展特點，何時是兒童由加法思維向乘法思維轉折的關鍵時期等問題。尚未有足夠的研究。

五、研究啟示與展望

綜上所述，學前兒童的乘法能力是逐步提高的，兒童能否完成乘法任務，既與兒童的年齡有關，也與任務的難度、抽象程度有關。兒童對乘法關系的理解大多來自于日常生活中與同伴及成人的互動。因此，教師可以考慮將一些適宜的活動引入幼兒園教育實踐，同時也可以向家長提供相應教育建議，從而幫助學前兒童獲得更多具體直觀的感性經驗，更好地激發兒童的數學學習興趣。

目前已有的研究對學前兒童乘法問題解決策略的具體應用年齡階段涉及的不多，對兒童如何實現從加法思維到乘法思維的轉換的研究也很少。今后的研究似可重點關注學前兒童由加法思維向乘法思維轉換的問題，以及在正式學習乘法之前，學前兒童主要采用什么乘法問題解決策略等，也可探究學前兒童乘法能力發展的性別差異等。以往的相關研究顯示，中國兒童的數學能力發展水平與其他國家的兒童不完全相同。因此，考察中國學前兒童的乘法能力發展也很有意義，有可能會得出不一樣的研究結論。