巧用圓錐曲線第一定義

姜利麗

圓錐曲線第一定義，是個重要概念，對它的準確理解與正確運用，是學好圓錐曲線的關鍵.本文以橢圓和雙曲線說下其應用.

一、焦半徑

【例1】 設F1，F2是雙曲線x216-y220=1的左、右焦點，點P在雙曲線上，若點P到焦點F1的距離等于9，求點P到焦點F2的距離.

分析：已知雙曲線上的點到一個焦點的距離，求該點到另一個焦點的距離是雙曲線第一定義的直接利用形式.

解析：由||PF1|-|PF2||=8及|PF1|=9，得|PF2|=1或17.

由2a=8，c2=36c=6知右支的頂點到F1的距離為10，而已知|PF1|=9，說明點P在左支上，此時，

|PF2|≥10，所以，點P到焦點F2的距離為17.

點評：此類問題可以是一解，也可以是兩解.如，當|PF1|≥10時，有兩解；當2≤|PF1|<10時，有一解，因此，對運算結果必須做合理性分析.

二、焦點三角形

【例2】 如圖，雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

其焦點為F1，F2，過F1作直線交雙曲線的左支于A，B兩點，且|AB|=n，則△ABF2的周長為 .

分析：本題中AF1，AF2，BF1，AF2都是焦半徑，而△ABF2的周長恰好是這四條焦半徑之和，應用第一定義便可求解.

解析：由

|AF2|-|AF1|=2a

|BF2|-|BF1|=2a

|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4a；

由|AF1|+|BF1|=|AB|=n，∴|AF2|+|BF2|=4a+n；

故△ABF2的周長為|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2n.

反思：本題結合定義，求出|AF2|+|BF2|，再求周長，簡便易行；假如本題未給圖形及條件“過F1作直線交雙曲線的左支于A，B兩點”中“左支”兩字，情況又會怎樣呢？

點評：本題考查的是雙曲線的定義及常規的運算能力；運算過程既要注重方程思想又要注重分類討論思想，體現了重思維、輕運算這一大綱要求.

【例3】 設F1，F2是雙曲線x24-y245=1左右兩個焦點，P是雙曲線左支上的點，已知|PF1|、|PF2|、|F1F2|成等差數列，且公差大于0，則∠F1PF2= ，點P的橫坐標為 .

提示：由|PF1|+|F1F2|=2|PF2|，|PF2|-|PF1|=4，得|PF1|=6，|PF2|=10，又2c=14，由余弦定理可得cos∠F1PF2=-12，∴∠F1PF2=120°.由|PF1|=-（ex-a）=6，即-（72x+2）=6，得x=-167.

三、類比與聯想

【例4】 解方程x2+4x+7+x2-4x+7=6.

分析：對第一個式子配方，得（x+2）2+3.聯想兩點間的距離公式，可設y2=3，此時變為（x+2）2+y2，問題即可解決.

解析：原方程可變為（x+2）2+3+（x-2）2+3=6，令y2=3，

則方程以變為（x+2）2+y2+（x-2）2+y2=6，顯然，點（x，y）在以（-2，0），（2，0）為焦點，實軸長為6的雙曲線上，易得其方程為x29+y25=1.

由x29+y25=1y2=3，得x=±3105.

點評：本題假設y2=3，使問題很巧妙地轉化為幾何問題，再結合橢圓的第一定義使問題獲解，這種方法體現了類比、聯想思想.

四、最值問題

【例5】 如圖，M是以A、B為焦點的雙曲線x2-y2=2右支上任一點，若點M到點C（3，1）與點B的距離之和為S，則S的取值范圍是（ ）.

A.[26+2，+∞）

B.[26-22，+∞）

C.[26-22，26+22）

D.[26-2，+∞）

解法如下：

連結MA，由雙曲線的第一定義可得：|MB|+|MC|=|MA|-2a+|MC|

=|MA|+|MC|-22≥|AC|-22=26-22，

當且僅當A、M、C三點共線時取得最小值.

如果此題就到此為止，未免太可惜了，可以引導學生作如下的探究：

（1）如果M點在左支上，則點M到點C（3，1）與點B的距離之和為S，則S的取值范圍是多少？

（2）如果M是以A、B為焦點的橢圓x24+y23=1上任一點，若點M到點C 12，1 與點B的距離之差為S，則S的最大值是多少？

（3）如果M是以A、B為焦點的橢圓x24+y23=1上任一點，若點M到點C 12，1 與點B的距離之和為S，則S的取值范圍是多少？

|MB|+|MC|=2a-|MA|+|MC|=2a-（|MA|-|MC|）

分析：連結MA，由橢圓的第一定義可得：

|MB|+|MC|=2a-|MA|+|MC|=2a-（|MA|-|MC|），當且僅當A、M、C三點共線時取得最大、最小值，如上圖所示.對于拋物線，也有類似的結論，由于較簡單，在此就不一一列舉了.

【例6】 雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩個焦點為F1、F2，若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）.

A.（1，3） B.（1，3]

C.（3，+∞）D.[3，+∞）

分析：若能利用雙曲線的第一定義，則迅速獲解.解法如下：不妨設|PF2|=m，則|PF1|=2m，

故a=m，由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|可得3m≥2ce=ca≤3，∴1

圓錐曲線的第一定義這一重要概念應用廣泛，應引起足夠的重視.特別是求解有關圓錐曲線的最值問題時，若能根據題目的實際條件，考慮用圓錐曲線的定義來求解，就能起到出奇制勝的效果.總而言之，在教學過程中，不應輕易錯過某一細節.如果能夠對一些細節問題進行探究反思，就可以提高教學質量，從而提高學生的數學成績.

（責任編輯 黃桂堅）