例談如何快速找到解題方案

李曉琴

拿到一道數(shù)學(xué)試題，首先要迅速解決“從何處下手”“向何方前進(jìn)”這兩個(gè)基本問(wèn)題.也就是到底如何找到解題方案呢？筆者認(rèn)為應(yīng)做好以下幾點(diǎn).

一、識(shí)別習(xí)題的類(lèi)型

如果我們著手解答一道數(shù)學(xué)試題，第一件事就是想知道：這是什么試題？它是什么形式？屬于哪種類(lèi)型？換句話(huà)說(shuō)，就是需要識(shí)別給定試題的類(lèi)型.要知道，識(shí)別了試題的類(lèi)型，在多數(shù)情況下，我們就得到了解題的方法，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)教材里，對(duì)于許多類(lèi)型的習(xí)題都有解答的一般法則.

【例1】 △ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，且cos .

（1） 求cotA+cotC的值.（2）設(shè)BA ，求a+c的值.

解析：這是一道解斜三角形的試題，而我們已經(jīng)知道解斜三角形試題的一般思路是：（1）轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，作三角變換；（2）轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，作代數(shù)變換.用到的工具不外乎是正、余弦定理及射影定理等.

二、歸結(jié)為已經(jīng)解過(guò)的習(xí)題

對(duì)于一道試題，如果我們不能從中識(shí)別出類(lèi)型.那么，只有設(shè)法歸結(jié)為熟悉的早已解過(guò)的習(xí)題（利用變換、改變或其他方法）.具體地說(shuō)就是將新的高考題轉(zhuǎn)化為課本上已經(jīng)解決的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為歷年的高考題，這兩個(gè)轉(zhuǎn)化可完成50～80%的題目.

【例2】 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)y=2x2上，l是AB的垂直平分線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率為2時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍.

解析：這是2005年全國(guó)高考理科卷的壓軸題.有的學(xué)生將其納入業(yè)已掌握的理論體系，看出其解題思想與2000年高考理科卷第22題完全雷同，若用函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看這道題，立即產(chǎn)生如魚(yú)得水的感覺(jué).

1.一般性解決：設(shè)l在y軸上的截距為b，則b是與A，B坐標(biāo)有關(guān)的變量，結(jié)論是確定變量b的取值范圍，相當(dāng)于確定函數(shù)的值域，這就明確了解題的方向.從哲學(xué)意義上說(shuō)，題目已經(jīng)解決了.

2.功能性解決：為了確定函數(shù)的值域，需完成3件事：

（1） 求出變量b的表達(dá)式；

（2） 確定表達(dá)式中自變量的取值范圍；

（3） 由以上兩項(xiàng)具體解出b的取值范圍.

3.特殊性解決：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技巧完成上述3件事，而具體在完成每一件事時(shí)，可能還要重復(fù)展開(kāi)三層次解決.

第一，求變量b的表達(dá)式（函數(shù)觀(guān)點(diǎn)）.

設(shè)l在y軸上的截距為b，則有l(wèi)： y=2x+b，過(guò)點(diǎn)A，B的直線(xiàn)方程可寫(xiě)為：y=-

這就是變量b的表達(dá)式.

第二，確定表達(dá)式中自變量m的取值范圍.

第三，求出b的取值范圍.

三、抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，分解問(wèn)題

如果遇到不熟悉的和費(fèi)解的習(xí)題，那么到底怎樣尋找題解呢？

方案1：“把石頭一塊接一塊地搬開(kāi)，直到露出老鼠來(lái)，撲上去，抓住它.”這就要求我們，要善于把一個(gè)問(wèn)題分解為一些小問(wèn)題，然后分別求解這些小問(wèn)題，從而獲得原問(wèn)題的解決.

方案2：“圍繞石碓來(lái)回走動(dòng)，留心觀(guān)察，看看什么地方露出老鼠尾巴沒(méi)有，一旦發(fā)現(xiàn)老鼠尾巴，則抓住它并把老鼠從石碓里拖出來(lái).”這就要求我們，還要善于分析問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從尋找條件與結(jié)論的目標(biāo)差入手，向著減少目標(biāo)差的方向前進(jìn)，直搗問(wèn)題的關(guān)鍵.

【例3】 在△ABC中，已知 a2-a-2b-2c=0 （1）a+2b-2c+3=0 （2），求△ABC最大角的度數(shù).

解析：本例結(jié)論是求最大的角，而條件卻是關(guān)于邊的等量關(guān)系，根據(jù)三角形的邊、角大小關(guān)系可知，應(yīng)先由此兩項(xiàng)條件判定出最大的邊.由（1）（2）兩條件的特征，可以發(fā)現(xiàn)共性：b，c的系數(shù)的絕對(duì)值都是2，變形為2b+2c=a2-a，2c-2b=a+3

可得，b=（a+1）（a-3）4

，c=a2+34.又∵a>0，b>0，c>0，且由2c-2b=a+3得：c>b.由b=（a+1）（a-3）4>0，得a>3，又有c-a=a2+34-a=（a-1）（a-3）4 >0，即有c>a.

從而得c是△ABC最大的邊，即∠C為最大的角，根據(jù)余弦定理cosC=a2+b2-c22ab，b=（a+1）（a-3）4，c=a2+34，cosC=

a2+[（a+1）（a-3）4]2-（a2+34）2

2a（a+1）（a-3）4

=

4a-（a2+2a-3）2（a2-2a+3）

=-12，最大角為120°.

評(píng)述：認(rèn)真分析發(fā)現(xiàn)，“∠C最大”對(duì)計(jì)算∠C有定向作用（不去計(jì)算∠A，∠B），這在思路未通之前是很有價(jià)值的，但是作為解題后的回顧，“∠C最大”的判斷就成了多余的思維回路，因?yàn)橛?jì)算出∠C=120°本身已兼有判斷出∠C最大的功能，因而那些僅為推出∠C最大的中間環(huán)節(jié)均可刪去.

改進(jìn)解法：從目標(biāo)出發(fā)，考慮cosC=a2+b2-c22ab，只須將b，c表示為a的函數(shù)，代入即可求出.由已知可解得：b=（a+1）（a-3）4，

c=a2+34

，代入余弦定理有cosC=

a2+[（a+1）（a-3）4]2-（a2+34）2

2a（a+1）（a-3）4

=

4a-（a2+2a-3）2（a2-2a+3）

=-12，又因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°，所以∠C為所求的最大角.

評(píng)述：本解法中解出b，c又消去，仍有多余的思維回路，抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，由cosC=a2+（b+c）（b-c）2ab

及條件變形為2b+2c=a2-a，2c-2b=a+3.

啟發(fā)我們：

（1）應(yīng)對(duì)已知兩式中的b，c升次，但保留a2不升次；

（2）應(yīng)將已知兩式合并成一個(gè)式子，據(jù)此，有如下更簡(jiǎn)單的解法：

由已知有

（a+2b）+2c==a2 （3）（a+2b）-2c=-3 （4）

，則（3）與（4）相乘有a2+b2-c2=-ab<0，即：

cosC=a2+b2-c22ab=-12，得三角形的最大角為∠C=120°.

（責(zé)任編輯 黃春香）