幾種需要考慮左右極限的函數

賀文杰

摘 要：左右極限的概念和計算是高等數學教學的重點和難點，可并不是所有函數都是左右極限相等，求有些函數的極限需要考慮其左右極限。本文總結了求極限需考察左、右極限的幾種函數。

關鍵詞：極限；左右極限；函數

求函數極限的方法很多，有些函數可直接計算極限。另外，還有些函數需要分別考查兩個單側極限，即左、右極限，然后利用函數極限存在的充分必要條件判斷。若左、右極限相等，則函數在該處的極限存在；否則不存在。需考察左、右極限的函數求極限問題是教學的難點，為了便于掌握，將常見題型分析如下：

一、求分段函數在分段點的極限

一般地，若某點的兩側是同一表達式，則可直接計算雙側極限，如果是分段函數的區間分段點，由于分段點的兩側具有不同的表達式，因而左右極限有可能不同，必須考察左、右極限。求分段函數在分段點的極限時，不必考慮函數在分段點的取值情況，只需分析在分段點左右兩側的取值情況即可。

例1：函數f（x）=x+1 x>1x-1 x≤1，問■f（x）在x=1處的極限是否存在。

解：f（x）在x=1處的右極限f（x）=■x+1=2，

f（x）在x=1處的左極■f（x）=■x-1=0，

因為■ f（x）≠■f（x），所以f（x）在x=1處的極限不存在。

二、求含絕對值的函數的極限

含絕對值的函數在求極限時，一般可先去掉絕對值，改寫為分段函數，然后再考察函數在分段點的左、右極限。

例2：考察函數f（x）=■在x=0處的極限。

解：將|x|改寫為分段函數|x|=-x，x<1x，x≥0，

所以■f（x）=■■=-1，■f（x）=■■=-1

因為■f（x）≠■f（x），所以f（x）在x=0處的極限不存在。

三、求取整函數的極限

由[x]≤x<[x]+1或x-1<[x]≤x知，計算整數點的極限時，應先考察其左、右極限。如它們存在且相等，則極限存在；否則極限不存在。

例3：討論極限■（■-[■]）是否存在。

解：當x>1時，有0<■<1？圯[■]=0，于是有■（■-[■]）=0；當x<1時，有1<[■]<■，由迫斂性得■[■]=1，從而有■（■-[■]）=0；綜上所知，極限■（■-[■]）不存在。

四、求當x趨向無窮時含ax（a>0且a≠1）的函數極限，或求當x趨于零時含a■的函數的極限

因為當a>1時，■ax=0或■a■=0，■ax=+∞或■a■=+∞，當0

■ax=+∞或■a■=+∞，

所以■ax或■a■不存在。故需要討論左右極限。

例4：討論f（x）=■）在x=0處的極限是否存在。

解：當x→0-時■2■=■2u=0，當x→0+時■2■=■2u=+∞，所以■f（x）=■■=■=-1，■f（x）=■■=■=1，

因此該函數在x=0處的極限不存在。

五、求含arctanx（arccotx）的函數x趨向無窮的極限，或含arctan■（arccot■）的函數x趨于零的極限

這是因為當■arctanx=π/2，當■arctanx=-π/2，故■arctanx不存在。同樣■arccotx=π，■arccotx=0，故■arccotx不存在。

同理當x→0+和x→0-時arctan■（arccot■）的極限值不相等，故需討論左、右極限。

例5：求極限■■的值。

解：因為■■=■=0，■■=■=0，該函數的左右極限存在且相等，故所求極限存在且■■=0。

六、求含偶次方根的函數的極限

由于開偶次方根的結果為非負數，求x→x0或x→∞時的極限，應分x→x0+或x→∞和x→x0-或x→-∞兩種情況討論。

例6：求■x（■-x）

解：因為■x（■-x）=■■

=■■=■，■x（■-x）

=■■=■■=∞，故所求極限不存在。

左、右極限的概念和計算是高等數學教學的重點和難點，這部分內容概念抽象，題型靈活多樣，需要及時總結歸納。只有深刻理解基本概念，掌握好各種題型的解題技巧，才能找到解決問題的切入點和突破口。

參考文獻：

[1]同濟大學數學教研室.高等數學[M].北京：高等教育出版社，1997.

[2]吳良森.數學分析習題精解[M].北京：科學出版社，2003.