等差數列前n項和公式的兩個突顯

韓興元

[摘 要]：本文從在思想方法的角度給出了等差數列前n項和兩個公式的側重點。

[關鍵詞]：等差數列 思想 前n項和公式

一 突顯函數方程思想

1） 方程思想：

所謂方程思想就是將題目條件運用前n項和公式，表示成關于首項a1和公差d的兩個方程，通過解決方程來解決問題。

例1 已知{an}為等差數列，前10項的和S10=100，前100項的和S100=10，求前110項的和S110.

剖析：方程的思想，將題目條件運用前n項和公式，表示成關于首項a1和公差d的兩個方程.

解析：設{an}的首項為a1，公差為d，則

解得 ∴S110=110a1+ ×110×109d=-110.

拓展：觀察結構特點公式做如下變形： ，在處理問題是會更方便。

例2 如果等差數列 的前4項和是2，前9項和是 ，求其前n項和公式。

解：由變形公式得：

將 代入 得：

2） 側重于函數思想

將 ，當 ，數列 為常數列；當 ，則 是關于n的二次函數，若令 則 。此時可利用二次函數的知識解決。

例題3 設等差數列滿足 ，且 ，則 的前多少項的和最大？

解析：思路一：由3 a8=5a13得：d= a1，若前n項和最大，則 ，

又a1>0得： ，∴n=20，即 的前20項和最大。這一做法為通法。

思路二：

，當且僅當 時 最大。

點評：這一做法突顯了數列的函數特征。

思路三：

由 得

，又∵ ，

∴ 的圖象是開口向下的拋物線上的點列，對稱軸恰為 ，故 時Sn最大。

點評：這一做法中幾乎沒有運算，抓住了題目條件，結合數列的函數特性做處理，顯得十分巧妙。

二 突顯等差數列性質

1） 側重于性質：若 則 。

有些涉及等差數列前 項和的題目，常與等差數列的上述性質融合在一起，將 與其他條件進行轉換。

例題4 一個只有有限項的等差數列，它的前5項的和為34，最后5項的和為146，所有項的和為234，則它的第七項等于（ ）

A. 22B. 21C. 19D. 18

解：設該數列有 項且首項為 ，末項為 ，公差為 ，則依題意有

結合上述性質可得

代入（3）有

從而有

又所求項 恰為該數列的中間項，

故選D

點評：依題意能列出3個方程，若將 作為一個整體，問題即可迎刃而解。在求 時，巧用等差中項的性質也值得關注。知識的靈活應用，來源于對知識系統的深刻理解。

2）側重于等差中項

利用等差中項，可以實施等差數列前 項和 與其通項 的轉換：

例題5 在等差數列 和 中，它們的前 項和分別為 ，且 ，則 的值是多少？

分析：利用等差中項建立起等差數列前 項和與其通項的聯系是解決本題的關鍵。

解析：