逐級(jí)遞進(jìn)多元建構(gòu) 促進(jìn)模型思想的整體形成

劉杰 陳祖惠

摘 要：數(shù)學(xué)常態(tài)教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程常會(huì)出現(xiàn)忽視學(xué)生實(shí)際、知識(shí)內(nèi)容特征及教材編排的意圖的現(xiàn)象，師生只偏重于模型的呆板與機(jī)械的套用，弱化親歷思考、探索與體驗(yàn)的模型建構(gòu)過程。并且在小學(xué)階段幾年的學(xué)習(xí)中，一些數(shù)學(xué)模型并不是或并不能在一朝一日之間建構(gòu)與形成，它需要隨著學(xué)生的年齡增長與知識(shí)內(nèi)容的特征逐級(jí)而上，循序漸進(jìn)的生成與建構(gòu)。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重模型思想的整體構(gòu)建，突顯建立模型求解模型的體驗(yàn)過程。

關(guān)鍵詞：模型思想 逐級(jí)漸進(jìn) 多元 整體建構(gòu)

中圖分類號(hào)：G623 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）03（b）-0089-02

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括，如模型思想就是其中之一。模型思想的建立應(yīng)具有這樣過程：學(xué)生在積極參與教學(xué)過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，以多元方式建立表示數(shù)學(xué)問題中的關(guān)系和規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的現(xiàn)實(shí)意義；通過多次的思考和長時(shí)間的積累，逐級(jí)漸進(jìn)使學(xué)生逐步感悟模型是一種重要的思想。下面我將自己在一線教學(xué)中對(duì)模型思想建構(gòu)的理解與做法作一些闡述。

1 關(guān)注學(xué)生與知識(shí)內(nèi)容，有效提升模型整體建構(gòu)的意識(shí)與素養(yǎng)

新課標(biāo)指出：重要的數(shù)學(xué)思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則，需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識(shí)過程，逐步理解和掌握的，所以在教學(xué)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容與思想方法是，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識(shí)積累，在遵循科學(xué)前提下，逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的原則，注重?cái)?shù)學(xué)思想的整體建構(gòu)。

根據(jù)螺旋上升原則，是要求學(xué)生在嘗試的廣度和深度等方面都要有實(shí)質(zhì)性的變化，即體現(xiàn)明顯階段性要求。所以模型思想的建構(gòu)應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，由淺入深、由易到繁地滲透數(shù)學(xué)模型法思想，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐，通過獨(dú)立思考、嘗試探索、合作交流等，讓學(xué)生逐步感悟、初步形成模型思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的實(shí)踐能力。

而在實(shí)際教學(xué)中很多一線老師由于教學(xué)觀念或理念問題，忽視學(xué)生的年齡特征，偏重于數(shù)學(xué)模型的機(jī)械應(yīng)用，輕視學(xué)生親歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。學(xué)生有困難，老師最多的批評(píng)就是這樣公式、方法都記不住，真笨。學(xué)生真笨嗎？不一定，關(guān)于學(xué)生怎樣富有成效的學(xué)習(xí)以獲得很重要的數(shù)學(xué)思想與方法是值得每位老師反思與研究的。

如有關(guān)雞兔同籠問題模型的建構(gòu)與求解，是小學(xué)階段的一個(gè)重要的模型，同時(shí)也是一個(gè)較難理解的數(shù)學(xué)模型。這種模型的建構(gòu)并不只為學(xué)生的求解，更重要的是讓學(xué)生在“做”和“思考”的過程中有效的積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)模型建構(gòu)的思想與策略，并獲得解決現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)學(xué)問題的一些有效策略與方法。

縱觀小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，有關(guān)“雞兔同籠”模型問題應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的實(shí)際和教材的編排意圖可以以多個(gè)階段、多種方法建立模型，啟發(fā)學(xué)生從不同的角度思考同一個(gè)問題，即：同一模型的多種情境創(chuàng)設(shè)與建構(gòu)。這樣有利于學(xué)生進(jìn)行比較，加深對(duì)于模型的理解，有效提升學(xué)生問題解決能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面我就此模型為例繼續(xù)展開深入探討和分析。

2 親歷嘗試與作圖活動(dòng)過程，直觀初步感知數(shù)學(xué)模型

由于低段學(xué)生年齡的限制，兒童對(duì)純符號(hào)的運(yùn)算往往比較困難，學(xué)生對(duì)模型的初步感知應(yīng)運(yùn)用或借助作圖輔助的策略，以紙上涂涂畫畫，并在不斷地“試誤”來感受。這樣不僅可以幫助他們拓展思路，而且還能逐步體會(huì)到數(shù)學(xué)問題模型中的規(guī)律或關(guān)系。

在第一學(xué)段二年級(jí)的7歲小朋友中，為了滲透一些簡單的有關(guān)“雞兔同籠”的模型思想。可出示一些簡單的雞兔同籠知識(shí)，如：雞兔同籠，共同8個(gè)頭，20條腿。籠里有幾只雞？幾只兔？

在這里我們讓小朋友先自己根據(jù)對(duì)這兩種小動(dòng)物的認(rèn)識(shí)，說說各自有幾個(gè)頭與條腿，再根據(jù)自己的想法對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行思考，你能想出什么辦法來找到籠里小動(dòng)物各有幾只？小朋友很能想知道這題的答案，于是十分積極參與討論，但想準(zhǔn)確知道正確的答案卻較為困難。

這時(shí)我給小朋友介紹一種“畫圖湊數(shù)法”再來試試看是否很方便。我們可以用“”來表示1個(gè)頭，用“”來表示一條腿，再來試試，學(xué)生們根據(jù)8個(gè)頭與20條腿這兩個(gè)信息進(jìn)行畫圖湊數(shù)，不斷的嘗試與調(diào)整，最后可以小結(jié)出較為簡潔的辦法：畫圖時(shí)，可以先都畫成2條腿的，也可以先都畫成4條腿的，還可以將2條腿與4條腿的各畫一半分別再進(jìn)行調(diào)整，逐步認(rèn)識(shí)到：雞與兔每相差一個(gè)頭就相差兩條腿。最后就能得到正確的答案。在這一過程中，學(xué)生充分參與了問題的嘗試操作探索中，采取直觀的方法進(jìn)行有效而真實(shí)的體驗(yàn)，過程充滿了樂趣，絲毫不覺數(shù)學(xué)問題的枯燥。更重要的是通過這樣的方式與手段，讓7歲的小朋友對(duì)這類問題進(jìn)行了簡單模型的建構(gòu)。

3 借助例舉操作感知規(guī)律，初步體會(huì)模型思想

到了小學(xué)的中段，隨著學(xué)生年齡與能力的增長，操作能力有了進(jìn)一步的提升，尤其隨著四則運(yùn)算能力的提高，學(xué)生可以將問題模型中的信息例舉并做相應(yīng)的處理后，模型的特征就會(huì)顯現(xiàn)，從而能幫助學(xué)生較快的尋找到模型問題的解決思路，更掌握一些問題解決的策略，如運(yùn)用表格進(jìn)行問題的例舉嘗試探究就是一種有效的策略。

如：停車場(chǎng)停著大汽車和小汽車一共有14輛，大汽車有6個(gè)輪子，小汽車有4個(gè)輪子，現(xiàn)在14輛汽車一共有72個(gè)輪子，問有幾輛大汽車？幾輛小汽車？（表1）

學(xué)生通過一一枚舉，繼續(xù)計(jì)算下去，當(dāng)大汽車為8輛，小汽車為6輛車輪總數(shù)就等于72個(gè)，也可以啟發(fā)學(xué)生認(rèn)真思考在運(yùn)用四則運(yùn)算中逐漸發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，每少一輛大汽車就多一輛小汽車，車輪的總數(shù)就相差兩個(gè)，從表中可以直觀的看出，車輪總數(shù)是72時(shí)，84-72=12，6-4=2，所以12÷2=6，大汽車的輛數(shù)為14-6=8，小汽車數(shù)為0+6=6。

同時(shí)也可以在表中先讓小汽車的輛數(shù)為了14，則14×4=56，72-56=16，16÷2=8，小汽車的輛數(shù)為14-8=6，大汽車輛數(shù)為0+8=8；也可以這樣嘗試：大、小汽車都為7輛，也運(yùn)用枚舉的辦法，得出正確答案。

學(xué)生還可以這樣思考，大汽車輛數(shù)為：7×6=42，小汽車輛數(shù)為7×4=28，42+28=70，則規(guī)律可以算出大汽車為8輛，小汽車為6輛。通過以上的嘗試的辦法探索規(guī)律，得出結(jié)果，讓學(xué)生體驗(yàn)到枚舉是數(shù)學(xué)探索的一種有效方法，進(jìn)一步對(duì)“雞兔同籠”問題的模型特征進(jìn)行了理解與建構(gòu)。

隨著學(xué)生的數(shù)學(xué)探索能力與四則運(yùn)算能力的進(jìn)一步提升，進(jìn)入小學(xué)的高段后可以在總結(jié)規(guī)律的基礎(chǔ)上提煉出解決此類問題模型的假設(shè)法，適當(dāng)?shù)孛撾x列表枚舉的方法，直接運(yùn)用猜測(cè)與規(guī)律深入理解模型，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用四則運(yùn)算解決問題。但較多的老師覺得列表枚舉太麻煩，而舍棄這表格的例舉，而直接讓學(xué)生采用個(gè)假設(shè)法，這樣不符合學(xué)生年齡及思維能力的實(shí)際，忽視了探究方法與能力的培養(yǎng)，為解題而做題，不利于模型特征的理解與穩(wěn)固建構(gòu)。

4 運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)建構(gòu)模型，促進(jìn)模型思想有效形成

隨著學(xué)生能力的逐步提升，老師可以鼓勵(lì)或引導(dǎo)學(xué)生來進(jìn)一步討論“雞兔同籠”問題，用字母代替雞與兔的腿數(shù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示模型規(guī)律，從而得到計(jì)算腿總數(shù)的模型，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與概括能力。

通過這樣的方式，學(xué)生不僅加深了對(duì)方程意義的理解，而且更進(jìn)一步體會(huì)了什么是方程正確的解，還可以利用乘法分配律對(duì)學(xué)生進(jìn)行解較復(fù)雜方程的訓(xùn)練，提升了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，有效而且高效地促進(jìn)了此類問題模型的進(jìn)一步提升。

5 拓展深化熟練運(yùn)用模型，提升問題解決能力

在六年級(jí)的教學(xué)中，學(xué)生的抽象與邏輯思維能力有了較大的提高，學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有了進(jìn)一步的興趣，為了與初中學(xué)習(xí)的進(jìn)一步銜接，我們還可以進(jìn)一步利用二元一次方程直接列方程進(jìn)行問題模型的建構(gòu)。以上題為例，可以將雞的只數(shù)假設(shè)為a，兔的只數(shù)b這樣根據(jù)題意可以得到兩個(gè)方程：（1）a+b=30和（2）2a+4b=70，可用代入法得到方程2a+4（30-a）=70，從而得到解為a=25和b=5。

在以上幾種方法的基礎(chǔ)上，對(duì)這幾種模型建構(gòu)的方法進(jìn)行比較，可以得出：在低段運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行模型的建構(gòu)，方法直觀，重在嘗試猜測(cè)湊數(shù)的特征明顯，符合童趣要求。在中段運(yùn)用的列表枚舉方法，進(jìn)行有序嘗試，尋找規(guī)律特征，方法或方式雖然較為繁瑣，但思路清晰，探索方法十分有效；而后的假設(shè)法主要是根據(jù)“雞兔同籠”模型特征的規(guī)律，運(yùn)用四則運(yùn)算方法進(jìn)行計(jì)算，雖然計(jì)算較簡便，但可以感受出這種方法思考難度較大，對(duì)學(xué)生要求較高。一元一次方程思路較為簡潔，但列方程和解方程的過程計(jì)算要求較高，而二元一次方程思考最簡潔，但解方程的計(jì)算最為煩瑣。

通過上面的綜合闡述，可以看出經(jīng)過長期的逐級(jí)遞多元建構(gòu)，學(xué)生經(jīng)歷多次的反復(fù)思考和長時(shí)間的積累，會(huì)逐步感悟模型是一種重要的思想，相信學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型能形成較為清晰的認(rèn)識(shí)。所以在小學(xué)階段學(xué)習(xí)中，眾多的數(shù)學(xué)模型需要運(yùn)用多元方式采取逐級(jí)遞進(jìn)的策略，進(jìn)行整體而有效的建構(gòu)，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解與運(yùn)用，從而有效降低思維的難度，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣養(yǎng)成和思維能力提升。

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