一元一次不等式組在中考中的應用

鄭麗鴻

【摘 要】當前，用一元一次不等式組的知識解決實際問題是中考的必考題，隨著現代經濟的快速發展，這類題常以現實生活中的經濟，經營決策等熱點問題為背景。本文從實際出發談談一元一次不等式組在經濟中的應用。

【關鍵詞】一元一次不等式組；應用

當前，中考題型越來越靈活多變，出的題目經常會從實際出發，讓學生感受到身邊處處有數學。這也就要求我們一線教師在平時的教學過程中，要重視數學中的實際問題。

一、考點關注

1.列不等式組解應用題的步驟

（1）認真審題，找出問題中的不等關系，設定合適的未知數，列出不等式組。

（2）解出這個不等式組。

（3）從不等式組的解集中求出符合題意的答案。

2.利用不等式組解決生活中的實際問題

通過不等式組對代數式進行比較，以確定最佳方案、獲取最大利潤等，考查學生對數學的應用能力。考查的熱點是與實際生活密切相關的不等式組應用題。

這類問題，首先要認真分析題意，即讀懂題目，然后建立數學模型，即用不等式組的方法求解。解決這類問題的關鍵是，正確的設未知數，找出問題中的不等關系，再從不等式組的解集中尋求正確的符合題意的答案。同時，要注意以下兩方面：

（1）根據題目所給的信息，運用不等式的知識建立數學模型，再對可能出現的各種情況進行分類討論而獲解，這是一元一次不等式組應用的一種常見題型，應注意加強自我練習，以增強應用數學的能力。

（2）列不等式組解應用題的步驟大體與列方程組解應用題相同，應緊緊抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超過”“大于”“小于”等關鍵詞，注意分析題意，列出不等式組，然后根據不等式組的解法求解，最后根據實際意義，找出正確答案。

二、例題歸類

類型一：利用一元一次不等式組解決商品銷售問題

【2011 廣州】某商店5月1日舉行促銷優惠活動，當天到該商店購買商品有兩種方案，方案一：用168元購買會員卡成為會員后，憑會員卡購買商店內任何商品，一律按商品價格的8折優惠；方案二：若不購買會員卡，則購買商店內任何商品，一律按商品價格的9.5折優惠。已知小敏5月1日前不是該商店的會員。

（1）若小敏不購買會員卡，所購買商品的價格為120元時，實際應支付多少元？

（2）請幫小敏算一算，所購買商品的價格在什么范圍時，采用方案一更合算？

解法分析：解決實際問題時，要注意表示不等關系的關鍵詞，所求的結果要符合實際。

解：（1）120×0.95=114（元）

所以實際應支付114元.

（2）設購買商品的價格為x元，由題意得：

0.8x+168<0.95x，解得x>1120.

所以當購買商品的價格超過1120元時，采用方案一更合算。

類型二：利用一元一次不等式組進行方案設計

命題角度：

利用不等關系確定取值范圍，討論方案的可行性。

【2012 溫州】溫州享有“中國筆都”之稱，其產品暢銷全球，某制筆企業欲將n件產品運往A，B，C三地銷售，要求運往C地的件數是運往A地件數的2倍，各地的運費如圖所示。設安排x件產品運往A地。

（1）當n=200時，j根據信息填表：

A地 B地 C地 合計

產品件數（件） x 2x 200

運費（元） 30x

k若運往B地的件數不多于運往C地的件數，總運費不超過4000元，則有哪幾種運輸方案？

（2）若總運費為5800元，求n的最小值。

解法分析：利用不等式組進行方案設計，首先要通過審題設未知數，列出不等式組并借此不等式組，然后通過所設未知數的實際意義，求出各種方案，進而解決最優方案問題。借助數軸求解集的公共部分是常見的方法.

解：（1）當n=200時，

①根據信息填表：

A地 B地 C地 合計

產品件數（件） x 200-3x 2x 200

運費（元） 30x 1600-24x 50x 56x +1600

②若運往B地的件數不多于運往C地的件數，總運費不超過4000元，則有哪幾種運輸方案？

（2）若總運費為5800元，求n的最小值。

解：②由題意得解得40≤x≤

∵x為整數，∴x=40或41或42

∴有三種方案，分別為：

（ⅰ）A地40件，B地80件，C地80件；

（ⅱ）A地41件，B地77件，C地82件；

（ⅲ）A地42件，B地74件，C地84件。

（2）由題意得30x+8（n-3x）+50x=5800，

整理得n=725-7x

∵n-3x≥0，∴x≤72.5

又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x為整數

∵n隨x的增大而減小，當x=72時，n有最小值為221.

類型三：【2010 牡丹江市】在“老年前”前夕，某旅行社組織了一個“夕陽紅”旅行團，共有253名老人報名參加。旅行前，旅行社承諾每車保證有一名隨團醫生，并為此次旅行請了7名醫生，現打算選租甲、乙兩種客車，甲種客車載客量為40人/輛，乙種客車載客量為30人/輛。

（1）請幫助旅行社設計租車方案；

（2）若甲種客車租金350元/輛，乙種客車租金為280元/輛，旅行社按哪種方案租車最省錢？此時租金是多少？

（3）旅行社在充分考慮團內老人的年齡結構特點后，為更好的照顧游客，決定同時租45座和30座的大小兩種客車。大客車上至少配兩名隨團醫生，小客車上至少配一名隨團醫生，為此旅行社又請了4名醫生.出發時，旅行社先安排游客坐滿大客車，再依次坐滿小客車，最后一輛小客車即使坐不滿也至少要有20座上座率，請直接寫出旅行社的租車方案。

思路分析：找到相應的關系式是解決問題的關鍵.注意第三問應根據醫生數及總人數來求得整數解。利用不等關系討論哪種方案更合算。

解：（1）設租甲種客車x輛.

40x≥253+7，

解得x≥6.5；

租乙種客車y輛.

30y≥253+7

解得y≥8

若租甲種客車，需租7輛；若租乙種客車，需租9輛；

（2）租甲種客車需付費7×350=2450（元）；租乙種客車需付費9×280=2520（元）

答：單租甲種客車付費較少，需2450元；

（3）租45座的客車3輛，30座的客車5輛.

類型四：【2002 哈爾濱市】建網就等于建一所學校，哈市惠明中學為加強現代信息技術課的教學，擬投資建一個初級計算機機房和一個高級計算機機房，每個計算機房只配置一臺教師用機，若干臺學生用機，其中初級機房教師用機每臺8000元，學生用機每臺3500元； 高級機房教師用機每臺11500元，學生用機每臺7000元.已知兩機房買計算機的總臺數相等，且每個機房購買計算機的總錢數不少于20萬元也不超過21萬元.求該校擬建的初級機房、高級機房各應有多少臺計算機？

【特色】此題背景真實，它考查了應用方程、不等式等知識的建模能力。

【解答】建立一個由方程和不等式組成的混合組，求特解。

設該校擬建的初級機房有x臺計算機，高級機房有y臺計算機，

根據題意，得

解得

∵x為整數，∴x=56，57，58.同理，y=28，29.∴

答： 該校擬建的初級機、高級機房應分別有計算機56臺、28臺或58臺、29臺。

【拓展】對于混合組構成的簡單規劃問題，常用到消元思想，將混合組化為不等式組求解之。

用一元一次不等式組的知識解決實際問題是中考的必考題，隨著現代經濟的快速發展，這類題常以現實生活中的經濟，經營決策等熱點問題為背景。不等式與現實生活中聯系非常緊密，解決好這類應用題，有助于我們在以后的日常生活中靈活應用所學知識解決實際問題。因此，對于不等式應用題的分析至關重要。

下面我就談談《一元一次不等式組的應用》這節課的教學設計和感受。

三、教法和學法分析

教法分析：針對學生的學習特點，情景引入從學生現實生活出發，提出了問題，以提高學生分析問題、解決問題的能力，發展邏輯思維能力和有條理表達思維過程的能力。讓學生切實地感受到數學在生活中的應用價值，從而培養學生用數學眼光看世界的意識，引導學生去關注生活，關注社會，感受類比和化歸等數學思想。

學法分析：在本節課的學習過程中，最關鍵的是如何建立學生的不等意識，怎樣將生活問題數學化，通過仔細觀察，實驗、大膽猜想、不斷驗證、推理與交流等活動，發展學生的思維能力，從而促進學生數學觀的建立。

解法探究：列一元一次不等式組解決實際問題是中考要考查的一個重要內容。教學過程中，一定要反復向學生強調，在列不等式解決實際問題時，應掌握好以下三個步驟：

（1）找出實際問題中的所有不等關系或相等關系（有時要通過不等式與方程綜合一起來解決），設出未知數，列出不等式組（或不等式與方程的混合組）；

（2）解出該不等式組；

（3）從已列出的不等式組（或不等式與方程的混合組）的解集中求出符合題意的答案。

四、易錯分析

學生在本節課學習時，容易了解如何審題及設未知數，但對于不等關系的尋找又容易出錯。所以在教學過程中，我們應該要多引導學生怎樣快速準確地找出題中的不等關系。

五、教后反思

（1）根據學生的知識結構特點，采用了三個探究和一個活動這樣的教學流程。使學生能夠把握住實際問題中的量與量之間的關系，從而突破構建模型中的難點，使學生能夠積累分析復雜問題的經驗。

（2）選擇當前實事及學生身邊熟悉的、感興趣的問題，以激發學生對知識的渴望與追求，體現了數學知識與生活的聯系。

（3）讓學生通過探究得出運用數學知識解決實際問題的方法是：從實際問題中獲取所需信息——分析、處理有關信息——將實際問題轉化數學問題——解答原實際問題。在分析、解決問題的過程中發展學生用數學的眼光看世界的主動性。