高中數(shù)學(xué)最值問題的常用解法

田淑華

最值問題是在生產(chǎn)和日常生活中常會遇到的一類特殊的數(shù)學(xué)問題，它涉及到高中數(shù)學(xué)知識的各個方面，解決這類問題往往需要綜合運(yùn)用各種技巧，靈活選擇解題途徑和方法。對學(xué)生考查的角度來看，求最值問題是一個綜合能力的考查；從內(nèi)容來看它涉及到：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性等等；從方法上來說，它涉及到：代數(shù)式的變形與變換、數(shù)形結(jié)合、不等式法、導(dǎo)數(shù)法、化歸思想等；從能力角度來說，它要求學(xué)生有一定的分析能力、解決問題的能力。

下面對求最值問題的常用方法進(jìn)行總結(jié)并舉例說明，利用各類型的典型例題，分析求最值問題的解題思路，以揭示其中的特征和規(guī)律。

方法一：利用單調(diào)性求最值

學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)以后，為討論函數(shù)的性質(zhì)開發(fā)了前所未有的前景，這不只局限于基本初等函數(shù)，凡是由幾個或多個基本初等函數(shù)加減乘除而得到的新函數(shù)都可以用導(dǎo)數(shù)作為工具討論函數(shù)單調(diào)性，這需要熟練掌握求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則，以及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號之間的關(guān)系，還有利用導(dǎo)數(shù)如何求得函數(shù)的極值與最值。

例1 已知函數(shù)，當(dāng)x∈[-2，2]時，函數(shù)f（x）的圖象總在直線y=a-e2的上方，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：此題屬于恒成立問題，恒成立問題大都轉(zhuǎn)化為最值問題。

解：原問題等價于f（x）>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。

令g（x）=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原問題等價于a

下面利用導(dǎo)數(shù)討論g（x）的最小值，求導(dǎo)可得g'（x）=x（1-ex）。

當(dāng)x∈[-2，0]時，g'（x）≤0，從而g（x）在[-2，0]上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（0，2]時，g'（x）<0可知g（x）在（0，2]上也單調(diào)遞減。

所以g（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，從而g（x）min=g（2）=2即a∈（-∞，2）

評注：本題是求參數(shù)的取值范圍問題，利用等價轉(zhuǎn)化的思想可化為不等式恒成立問題，進(jìn)而化為最值問題，再借助于導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出的最值。其實高中階段接觸到的最值問題大都可以運(yùn)用單調(diào)性法求得最值。

方法二：利用不等式求最值

掌握和靈活運(yùn)用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││這一類型的基本不等式，在求一些函數(shù)最值問題時通常十分便捷，在解題時務(wù)必注意考慮利用不等式求最值的條件限制 。

例2 若x∈R，且0

分析：本題可以運(yùn)用單調(diào)性法求最值，但是較麻煩，下面介紹一種新的方法。

解：。

由0

則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號。

故當(dāng)時，取得最小值9。

例3 求使不等式│x-4│+│x-3│

分析：此題若用討論法，可以求解，但過程較繁；用絕對值不等式的性質(zhì)求解卻十分方便。

解：令f（x）=│x-4│+│x-3│原不等式有解，只需a>f（x）min，而f（x）=│x-4│+│x-3│≥│（x-4）-（x-3）│=1，當(dāng)且僅當(dāng)x∈[3，4]時，等號成立。

所以f（x）min=1，因此的a取值范圍是a∈[1，+∞]。

評注：例2表面上看本題不能使用基本不等式，但只要稍留心便能從兩個分母中發(fā)現(xiàn)“名堂”，一個分母是，另一個分母是，兩數(shù)之積正好為“1”，于是巧乘得“1”便可利用基本不等式。其實，即便不是“1”也可類似處理，只是式子前面要多乘一個系數(shù)。例4采用了絕對值三角不等式快捷的求出了參數(shù)的取值范圍。

方法三： 數(shù)形結(jié)合法

將一些抽象的解析式賦予幾何意義，然后通過圖形的屬性及數(shù)量關(guān)系進(jìn)行“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，把代數(shù)的問題等價性的用幾何的方法來求解，使之求解更簡單、快捷，也是解決最值問題的一種常用方法。

例4 已知實數(shù)x、y滿足等式x2+y2-6x-6y+12=0，求的最值。

分析：如果把等式看成圓的一般式，那么就有點(diǎn)（x，y）在圓（x-3）2+（y-3）2=6上，那么表示該點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率.由于圓位于第一象限，若過原點(diǎn)作圓的兩切線OA、OB（A，B為切點(diǎn)），則的最值分別是直線OA、OB的斜率。

解：設(shè)，即y=kx，∴，

整理為k2-6k+1=0。解得。

∴，。

前面通過實例，分析了解決最值問題的幾種常用方法，雖然是分開敘說的，但它們并非是單獨(dú)無聯(lián)系的。就一道題目里面，有時也可以幾種方法并用，如例3可以用單調(diào)性法，也可以用不等式法等。當(dāng)然，解決最值的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些。比如換元法，圖象法等等，這里只是對求最值的方法作一個部分的歸納。我們應(yīng)該在掌握各種方法的基礎(chǔ)上，要會比較各種方法對解決某一具體問題的優(yōu)劣做到具體問題，具體分析，靈活處理。弄清問題的關(guān)鍵，理解解題的實質(zhì)，探求解題途徑的最佳方法。最后，希望通過本文的總結(jié)，能對學(xué)生們解決最值問題的能力提高有一點(diǎn)幫助。