利用畫圖表征，促進“倍”的理解

林俊峰 謝玉娓

一、新、舊教材比較與分析

（一）體現了“情境+問題串”的編寫體例特點，為教與學導航

新教材基于“情境”，圍繞一定目標（引導學生逐步理解倍的意義），按照一定的結構精心設計了一組問題，通過這三個問題指向數學知識、方法、思想等發(fā)生發(fā)展過程，從而引領學生的學習過程，有效實現學習目標。這正體現了新版教材“情境+問題串”的編寫體例特點，這樣的編寫有利實現啟學引思、導學引教。

（二）新增了“學生作品”，更重視合理利用畫圖表征，促進學生對“倍”意義的理解

1.新增了學生作品，凸顯學生主體地位。一是強調通過圖形直觀，經歷把“3只猴子圈在一起看成1份，6只小鴨子就有這樣的2份，鴨子數就是猴子數的2倍（6是3的2倍）”的認識過程，即在活動中親身經歷了“倍”的形成過程，同時在這一過程中滲透了畫圖策略。二是在學生畫圖的過程中，讓教師及時讀懂學生的想法與認知困難，及時采取跟進的教學策略。

2.增加了畫圖表征的分量，強調其重要性。

新版教材增加了畫圖表征的分量，這樣在實物操作與抽象思維之間架起了橋梁，讓學生在圈一圈、畫一畫中初步建立“倍”的表象，并且有利于學生有效表達自己構建的概念表象，與教師、同伴交流，促進概念的初步形成。

（三）溝通“倍”與除法意義的聯系，強調舊知對新知學習的正遷移

新教材增加了一幅“對話圖”，即笑笑與智慧老人的對話。不僅有利于教師對教學的把握和學生對學習內容的理解，也凸顯了編者強調要溝通“倍”與除法意義的聯系，重視學習的正遷移，將新知納入學生的已有認知結構中。

二、教學建議

只有掌握了概念的本質屬性，才能提高學生分析問題和解決問題的能力。“倍”的本質屬性是什么？“倍”是兩個量比較的結果，以一個量為標準，另一個量有這樣相同的幾份就是它的幾倍。怎樣才算理解了“倍”？例如，當學生看到“6是3的幾倍”或“2的3倍是多少”這樣具有乘法結構的描述時就能在腦海中呈現一幅結構表象圖；或者當學生能用畫一畫、說一說等舉例說明“什么是2倍”時，我們就認為學生理解了“倍”。

基于第一部分的教材分析，筆者認為教學中要充分利用學生對“乘、除法意義”的認識以及有關“一份”和“幾份”的經驗，將它們作為學習新知的生長點和支撐點，通過認知的同化（都是求“一個數里含有幾個另一個數”），把“倍”的認識納入學生已有的認知結構中。在教學中，通過大量的操作活動，借助畫圖表征的功能，不斷豐富學生的表象，凸顯概念的結構關系。并且不斷進行對比與抽象，完成將“倍”從“形”到“數”的轉化，逐步豐富“倍”知識的表象，深化對“倍”知識的理解。

（一）找準教學生長點，溝通新知與舊知的聯系

學生在之前的學習中已經認識了乘法和除法的意義，也具有“份”的生活經驗。因此將“倍”的認識建立在“份”和除法的意義之上，有利于幫助學生溝通新知與舊知之間的聯系，較順利地把“倍”的認識納入學生已有的認知結構中。

教學中，教師呈現主題圖引導學生數出各種小動物的數量，讓他們比一比小猴子和小鴨子的數量。通常，學生能運用以前的學習經驗，提出“比多比少”與“求和”這樣的“加法結構”的問題，很少有學生能用“倍”來比較兩種小動物的只數（即使極少數學生說出“倍”，也并不知道其含義）。此時，教師可告知學生，除了對小猴子和小鴨子進行比多比少外，還可以從另一個角度來比較。首先，教師要充分結合直觀圖，進行圈一圈、畫一畫，指出：把小猴的只數看作1份，小鴨子的只數就有這樣的2份，我們就說小鴨子的只數是小猴子的2倍，也就是6是3的2倍。其次，教師還應引導學生將“倍”和除法意義聯系起來，把小鴨子的只數每3只看成1份，6里面有這樣的2份，也就是說6里面有2個3，用除法算式6÷3=2來表示（提醒學生這里2的后面不寫單位名稱，因為倍是表示兩個數量間的一種關系，不是單位名稱）。

（二）利用“形”的直觀，初步建立“倍”的表象

在學習“倍”時，常有學生認為“6比3多2倍”，可見，學生對“倍”的認識受到“比多比少”學習的負遷移，也說明學生未掌握“倍”的概念的本質屬性。認知心理學認為，概念形成其實可以概括為兩個階段，即從完整表象上升為抽象概念，實現抽象概念在思維過程中的具體再現。在這兩次必備轉換過程中形成完整表象是最重要的一個環(huán)節(jié)。而由于低年級學生表達能力的欠缺，讓學生通過畫圖表征來表達出自己構建的概念表象就顯得尤為重要。

在比較完小猴子與小鴨子的只數后，教師要引導學生模仿著畫一畫、圈一圈、說一說：把誰看成1份，誰是誰的幾倍？而后，讓學生也用畫圖表征的方法，來比較圖中其他動物只數間的關系，要求畫出的圖要能清楚地看出誰是誰的幾倍。在交流中要讓學生體會到：不同只數的動物間的倍數關系可能是相同的（小鴨子的只數是小猴子的2倍；松鼠的只數是孔雀的2倍），也可能是不相同的（小鴨子的只數是小猴子的2倍；小雞的只數是松鼠的4倍）；而同樣的小鳥只數與不同動物只數比較，它們的倍數關系是不同的。最后，引導學生用除法算式表示出這些倍數關系。在這一過程中，要逐步引導學生體會：在比較兩種動物的只數時，把一種動物的只數看作1份，再看另一種動物的只數里有幾個這樣的1份，就是它的幾倍。

這樣，學生接觸大量實物間的倍數關系素材，通過畫圖表征（圈一圈）凸顯了“倍”的概念本質，幫助學生初步理解了“倍”的概念。

（三）在不斷對比與抽象中，逐步理解倍的意義

如何讓學生進一步理解“倍”的概念呢？這就需要在不斷對比與抽象中，舍棄各種不相干的因素，在變化中抓住“不變”，而這“不變”就是它們的量性特征，就是“倍”的本質。

1. 一倍數不變，幾倍數變化。

（1）出示蛋糕圖（如圖1所示），美羊羊做了3個草莓蛋糕和12個愛心蛋糕。請問：愛心蛋糕的個數是草莓蛋糕的幾倍？

在學生回答并說出是怎么想的后，課件又逐份增加愛心蛋糕，追問：現在愛心蛋糕的個數是草莓蛋糕的幾倍？你是怎么想的？

（2）客人們吃了一些愛心蛋糕，現在，愛心蛋糕的個數是草莓蛋糕的幾倍？課件逐份減少愛心蛋糕，最后屏幕上剩下草莓蛋糕、愛心蛋糕各3個，討論中明確：把草莓蛋糕看作1份，愛心蛋糕也有這樣的1份，我們就說愛心蛋糕是草莓蛋糕的1倍，也可以說草莓蛋糕是愛心蛋糕的1倍，此時，兩種蛋糕的個數是一樣的。

討論：草莓蛋糕一直都是3個，為什么愛心蛋糕的個數是草莓蛋糕的幾倍卻一直在變化呢？

師：如果愛心蛋糕有這樣的7份呢？10份、100份呢？你發(fā)現了什么？

小結：把草莓蛋糕看成1份，愛心蛋糕有這樣的幾份就是草莓蛋糕的幾倍。

2. 幾倍數不變，一倍數變化。

懶羊羊也學著制作蛋糕，它做了12個愛心蛋糕，還做了一些草莓蛋糕，請問：愛心蛋糕是草莓蛋糕的幾倍？（討論后歸納：倍是兩個量在比較，不知道草莓蛋糕的個數，就無法比較）

師：看來1份草莓蛋糕有幾個太關鍵了，大家猜猜，草莓蛋糕可能有幾個？這時，愛心蛋糕是草莓蛋糕的幾倍？

討論：愛心蛋糕一直是12個，為什么兩種蛋糕之間的倍數關系卻發(fā)生了變化？

討論后明確：愛心蛋糕和草莓蛋糕在比較，這里要看草莓蛋糕有幾個，它是我們比的標準，標準變了，倍數也就發(fā)生了變化。

3. 倍數不變，一倍數變化。

師：請你在本子上畫一畫，第一行畫圓形，想畫幾個就畫幾個，在第二行畫三角形，讓三角形的個數是圓形的2倍。（學生獨立畫，教師巡視。完成后全班交流、反饋）

討論1：要求畫出的三角形的個數必須是圓形的2倍，可是為什么大家畫出的三角形的個數卻各不相同呢？

生：因為第一行畫出的圓形的個數都不相同，它的2倍也就不相同了。

師：那么請你們再想一想，盡管圓形和三角形的個數不盡相同，但有一樣是相同的，那就是……

生：三角形的個數都是圓形的2倍。

討論2：為什么三角形、圓形的個數各不相同，可是三角形的個數卻都是圓形的2倍呢？

生：因為把圓形的個數看成1份，三角形的個數里始終有這樣的2份，所以就是圓形的2倍。

師：是啊，只要三角形的個數里有2份圓形的個數那么多，我們就說三角形的個數是圓形的2倍。

這樣，通過以上一系列“變與不變”的對比活動，學生在圈一圈、畫一畫、說一說中進一步明確：以一方為標準，另一方有這樣相同的幾份就是它的幾倍，建構了倍的直觀模型。

（作者單位：福建省泉州師范學院附屬小學 本專輯責任編輯：王彬）